METALLERDE SERBEST ELEKTR***079;N MODELLERİ

[WebMaste®]

<center> KATILARDA ELEKTRİKSEL İLETKENLİK
2.1.METALLERDE SERBEST ELEKTRON MODELLERİ

ELEKTRİK AKIMI

Aynı işaretli elektrik yükleri hareket ettiği zaman bir akımın varlığından söz edilir. Akımı daha iyi tanımlamak için yüklerin Şekil 2.1 deki gibi A alanlı bir yüzeye doğru dik olarak hareket ettiklerini farz edelim. Örneğin bu alan; bir telin dik kesit alanı olabilir. Akım bu yüzeye doğru giden yüklerin akış hızıdır. Bir ***61508;t zaman aralığında bu alandan geçen yük miktarı ***61508;Q ise, ortalama akım (Ior), yükün bu zamana oranına eşittir:
***61508;Q
Ior = ***61630;***61630;&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;*(2.1)
***61508;t
Yükün akış hızı zamanla değişirse, akım da zamanla değişir. Bu durumda yukarıdaki ifadenin limiti olarak ani akım(I)
dQ
I ***61626; ***61630;***61630;&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;*(2.2)
dt
olarak tanımlarız.






Şekil 2.1A alanından geçen yükler. Yükün bu alan içine doğru zamanla akış hızı, I akımı olarak tanımlanır. Akımın yönü, pozitif yüklerin akış yönü olarak kabul edilmiştir.

Akımın (SI) deki birimi ampère (A) dir ve
1 A= 1 C/s**&nb sp;**&nb sp;**&nb sp;**&nb sp;**&nb sp;(2.3)

dır. Yani, 1 A lik akım, yüzeyden 1 s de 1 C luk yük geçmesine özdeştir. Pratikte, miliampere(1 mA= 10-3 A) ve mikroampere (1 ***61549;A=10-6 A) gibi akımın küçük birimleri sıkça kullanılmaktadır.
Şekil 2.1 deki yüzeyden akan yükler pozitif,negatif veya her ikisi de olabilir. Pozitif yükün akış yönünü, anlaşmalı olarak akım yönü olarak seçmek adettir. Bakır gibi bir iletkende akım, negetif yüklü elektronların hareketleriyle oluşur. Bu nedenle, bakır tel gibi basit bir iletkendeki akımdan söz ederken, akım yönü, elektronların akış yönüne zıt olacaktır. Öte yandan, bir hızlandırıcıdaki pozitif yüklü proton demeti söz konusu ise, akım, protonların hareket yönündedir. Bazı durumlarda akım, hem pozitif hem de negatif yük akışının bir sonucudur. Örneğin, yarı iletken ve elektrolitlerde böyledir. Pozitif de olsa negatif de olsa, taşınan yüke, hareketli yük taşıyıcı olarak bakılır. Örneğin, bir metalde yük taşıyıcıları elektronlardır.







Şekil 2.2Dik kesit alanı A olan düzgün bir iletken parçası. Yük taşıyıcılar vd hızıyla hareket etmekteler ve ***61508;t süresinde aldıkları yol ***61508;x== vd ***61508;t ile verilir. ***61508;x uzunlukta, hareketli yük taşıyıcıların sayısı nAvd ***61508;t ile verilir. Buradaki n, birim hacim başına düşen hareketli taşıyıcı sayısıdır.

Akımla, yüklü parçacıkların hareketi arasında ilişki kurmak öğreticidir. Bu ilişkiyi göstermek için kesit alanı A olan bir iletkeni (Şekil 2.2) ele alalım. ***61508;x uzunluğundaki iletken elemanının hacmi (Şekil 2.2 deki koyu renkli kısım) A. ***61508;x dir. Şayet n birim hacim başına düşen hareketli yük taşıyıcıların sayısını gösterirse, bu hacim elemenındaki hareketli yük taşıyıcılarının sayısı nA***61508;x ile verilir. Dolayısıyla, bu parçadaki ***61508;Q yükü
***61508;Q= Yüklerin sayısı x parçacık başına düşen yük = (nA***61508;x)q
olarak verilir. Burada q, her bir parçacık üzerindeki yüktür. Şayet, yük taşıyıcılar vd hızıyla hareket ederlerse, ***61508;t süresinde alacakları yol ***61508;x= vd ***61508;t ile verilir. Dolayısıyla, ***61508;Q yükü
***61508;Q=(nAvd***61508;t)q
şeklinde yazabiliriz. Bu eşitliğin her iki tarafını ***61508;t ye bölersek iletken akımının


***61508;Q
I = ***61630;***61630; =nqvdA**&nbs p;&nbs p;&nbs p;&nbs p;(2.4)

***61508;t
ile verileceğini görürüz.







Şekil 2.3 Bir iletkende yük taşıyıcının zikzak hareketinin şematik gösterimi. Yöndeki değişmeler, iletkendeki atomlarda olan çarpışmalar yüzündendir. Elektronların net hareketlerinin elektrik alanının tersi yönünde olduğuna dikkat ediniz. Zikzak yollar gerçekte parabolik kısımlardır.

Yük taşıyıcıların vd hızı, gerçekte ortalama bir hızdır ve buna sürüklenme hızı denir. Sürüklenme hızının m***** anlamak için, içindeki yük taşıyıcıları elektronlar olan bir iletken düşünelim. Yalıtılmış bir iletkende bu elektronlar, gaz moleküllerinin yaptığı gibi, rastgele bir hareket yaparlar. İletkenin uçlarına bir potansiyel uygulandığında (diyelim bir batarya ile) iletkende bir elektrik alanı oluşur. Bu alan, elektron üzerinde bir elektriksel kuvvet uygular ve dolayısıyla bir akım oluşur. Gerçekte elektronlar, iletken boyunca basitçe doğrusal olarak hareket etmezler. Bunun yerine, metal atomlarıyla peşpeşe çarpışarak karmaşık zikzak hareketler yaparlar (Şekil 2.3). Elektronlardan metal atomlarına aktarılan enerji, atomların titreşim enerjilerinin artmasına ve dolayısıyla iletkenin sıcaklığının yükselmesine sebep olur. Fakat bu çarpışmalara rağmen, elektronlar, iletken boyunca E ye ters yönde, sürüklenme hızı vd adı verilen bir ortalama hız ile yavaşça hareketine devam ederler. Bu alan, elektronlar üzerinde , onların çarpışmalarla kaybettikleri ortalama enerjiden daha fazla iş yapar; ki bu net akımla sonuçlanır. Sürüklenme hızları, çarpışmalar arasındaki ortalama hızdan çok küçüktür. Bu modeli ileride daha ayrıntılı inceleyeceğiz. İletken içinde elektronların çarpışmalarını, etkin bir iç sürtünme (veya sürtünme kuvveti) olarak düşünebiliriz. Bu durum, yün keçe ile doldurulan bir borunun içine doğru akan sıvı moleküllerinin maruz kaldığı kuvvete benzer.
Aşağıdaki alıntı yazı, telefon kablolarında elektronik iletimin, W.F.G. Swann tarafından yapılan ilginç ve eğlenceli bir anlatımıdır.
Telefon akımını, elektronlar şeklinde taşıyan kabloları bir düşünün. Akım yokken, elektronlar bütün yönlerde hareket ederler. Sağdan sola ne kadar elektron hareket ediyorsa soldan sağa da o kadar elektron hareket eder. Bu eşit ve zıt yarımlardan hangisinin neden müteşekkil olduğunun bir önemi yok, zira bir yönde santimetrekare başına milyon kere milyon amper düşerken, zıt yönde de o kadar düşer. Telefon akımı, santimetrekare başına yüz milyon amper ile milyon kere milyon amperin yüzde biri arasında olmaktadır. İşte bu milyon kere milyonun yüzde birlik kısımda, binde birlik hata olsa telefon şirketini arayıp konuşma hatasından şikayetçi oluruz.
Sürüklenme hızı, çarpışmalar arasındaki ortalama hızdan oldukça küçüktür. Örneğin, bu hızla hareket eden elektronlar, 1 m lik bir yolu yaklaşık 68 dakikada alırlar! Hız bu kadar küçük olunca, düğmeye basılır basılmaz ışığın nasıl hemen yandığını merak ediyor olabilirsiniz. Bu, bir borudan suyun akışıyla açıklanabilir. Su ile tamamen dolu bir borunun bir ucundan bir damla su ilave edilirse, borunun diğer ucundan bir damla dışarı atılmalıdır. Her bir damlanın boru boyunca gitmesi uzun zaman alması gerekirken, bir uçta başlatılan akış çok kısa bir sürede diğer uçta benzer bir akışa sebep olmaktadır. Bir iletkende, elektrik alan serbest elektronları, iletken boyunca ışık hızına yakın bir hızla sürer. Böylece, bir ışık düğmesine bastığımızda, elektronları tel boyunca harekete geçirecek olan mesaj (elektrik alanı) onlara l08m/s mertebesindeki ışık hızıyla ulaşır.

DİRENÇ VE OHM KANUNU

Daha önce, bir iletken içinde elektrik alan olamayacağını bulmuştuk. Bununla beraber, bu ifade ancak iletkenin statik dengede olması halinde doğrudur. Bu bölümün amacı, iletken içinde yüklerin hareket etmesine izin verilmesi halinde neler olacağını anlamaktır.
Bir iletken içinde akım üretmek üzere, yükler, iletken içindeki elektrik alanının etkisi ile hareket ederler. Bu durumda iletken içinde elektrik alan mevcuttur. Çünkü biz hareketli yüklerle, yani elektriktrositatik olmayan durumlarla ilgileniyoruz. Bu, elektrostatik dengede bulunan bir iletken içinde, (ki bu durumda yükler durgundur) elektrik alanı bulanamaz durumuna zıttır.
A kesit alanlı ve I akımı taşıyan bir iletken düşünelim. İletken içindeki J akım yoğunluğu, birim alan başına düşen akım olarak tanımlanır. I= nqvdA olduğundan, akım yoğunluğu
I
J***61626; ***61630; = nqvdA**& nbsp;**& nbsp;**& nbsp;**& nbsp;(2.5)
A
ile verilir. Burada J, SI da A/m2 birimindedir. Bu ifade sadece, akım yoğunluğunun düzgün ve yüzeyin akım yönüne dik alması halinde geçerlidir. Genelde akım yoğunluğu vektörel bir niceliktir. Yani,
J = nqvd**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;(2.6)
dir. Bu tanımdan bir daha anlıyoruz ki; akım yoğunluğu da, akım gibi, pozitif yük taşıyıcılar söz konusu iken yüklerin hareketi yönünde, negatif yük taşıyıcılar söz konusu iken yüklerin hareketinin aksi yönündedir.
Bir iletkenin uçları arasına bir potansiyel farkı uygulanırsa, iletken içinde bir J akım yoğunluğu ve bir E elektrik alanı meydana gelir. Şayet potansiyel farkı sabitse, iletken içindeki akım da sabit olacaktır. Çoğu zaman, bir iletken içindeki akım yoğunluğu, elektrik alanla doğru orantılıdır. Yani,
J =***61555;E*&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;(2.7)
dir. Buradaki ***61555; orantı katsayısına iletkenin iletkenliği adı verilir. 2.7 eşitliğine uyan maddelere, Georg Simon Ohm (1787-1854) ismine izafeten Ohm kanununa uydukları söylenir. Daha özel olarak
Ohm kanunu, bir çok madde (ki buna çoğu metaller dahildir) için akım yoğunluğunun elektrik alana oranın, sabit (***61555;) olduğunu söyler. Bu sabit. akımı üreten elektrik alandan bağımsızdır.
Ohm kanununa uyan, dolayısıyla E ile J arasında lineer (doğrusal) bir ilişki gösteren maddelerin omik (ohmic) oldukları söylenir. Çoğu maddelerin elektriksel özellikleri, akımdaki çok küçük değişmeler için oldukça lineerdir. Bütün maddelerin bu özelliğe sahip olmadığı deneysel olarak bulunabilir. Ohm kanununa uymayan maddelere omik olmayan maddeler denilir. Ohm kanunu doğanın temel bir kanunu değildir; fakat sadece belli maddeler için geçerli olan deneysel bir bağıntıdır.






Şekil 2.4 Kesit alanı A ve boyu l olan bir iletken. İletkenin uçları arasında kurulan Vb ***61485; Va potansiyel farkı, iletkende bir E elektrik alanı meydana getirir ve bu da bir I akımı üretir.

Ohm kanununun pratik uygulamalarda daha kullanılışlı bir biçimi, Şekil 2.4 de görüldüğü gibi, A kesitine ve l boyunca sahip doğrusal bir tel parçasının incelenmesinden elde edilebilir. Telin uçlarına, telde bir elektrik alan ve akım meydana getiren bir Vb - Va potansiyel farkı uygulanır. Teldeki elektrik alanın düzgün olduğu kabul edilirse, V = Vb - Va potansiyel farkı elektrik alan ile
V = El
şeklinde bağlıdır. Dolayısıyla, teldeki akim yoğunluğunun büyüklüğünü
**V J=***61555;E=***61555; ***61630;
I
şeklinde ifade edebiliriz. J = I/A olduğundan potansiyel farkı
l*** ;l
V= ***61630;J= ***61531;***61630;***61533; I ***61555; ***61555;A
olarak yazılabilir. Buradaki l/***61555;A nice1iğine iletkenin direnci (R) adı verilir.
l*** ;V
R= ***61630;=***61630;& nbsp;*&nbs p;**&nbs p;*(2.8)
***61555;A I
Bu sonuçtan anlaşı1acağı üzere, direnç SI de amper başına volt birimine sahiptir. Amper başına 1 volt, bir ohm (***937; ) olarak tanımlanır:
1 ***937; =1 V/A
Yani, bir iletkenin uçları arasındaki lV luk potansiyel farkı, 1 A lik bir akıma sebep olursa iletkenin direnci 1 ***937;dur. Örneğin, 120 V luk bir kaynağa bağlı bir elektrik aleti, 6 A ilk bir akımtaşırsa, bu aletin direnci 20 ***937;dur.
Bir maddenin i1etkenliğinin tersine özdirenç (***61554;) denir:
l
***61554;=***61630;& nbsp;*&nbs p;**&nbs p;**&nbs p;*(2.9)
***61555;
Bu bağıntı ve (2.8) eşitliğine göre direnç
*l
R =***61554; ***61630;*&nbs p;**&nbs p;(2.10)**&nbs p;**
A
olarak da ifade edilebilir. Burada ***61554;, ohm-metre (***937;m) birimindedir. Her omik malzeme özel bir özdirence sahiptir ve bu parametre malzemenin özelliklerine ve sıcaklığına bağlıdır. İyi elektrik iletkenler çok küçük özdirence (veya yüksek iletkenliğe), iyi yalıtkanlar ise çok küçük özdirence (düşük iletkenliğe) sahiptirler.
2.10 eşitliğinden anlaşılıyor ki, silindirik bir iletkenin direnci, boyuyla doğru orantılı, dik-kesit alanı ile ters orantılıdır. Buna göre telin boyu ikiye katlanırsa, direnci de ikiye katlanır. Hatta, kesit alanı ikiye katlanırsa, direnci yarıya düşer. Bu durum, bir boru boyunca bir sıvının akışına benzer. Borunun uzunluğu arttığında, sıvı akışına mukavemet artar. Borunun dik kesit alanı artırılırsa, sıvı daha hızlı nakledilir.
Tost makinesi, ısıtıcı ve elektrik ampulü gibi tüm elektrikli aletler sabit bir dirence sahiptirler. Bir çok elektrik devresinde, devrenin çeşitli kısımlarındaki akım seviyesini kontrol etmek için direnç (resistör) adı verilen aygıt kullanılır. Dirençlerin iki yaygın tipi, karbon ihtiva eden "kompozit" dirençle (ki bu bir yarıiletkendir), bobin şeklinde sarılan "tel sargılı" dirençtir.
**Bakır gibi omik maddeler, uygulanan bir voltaj aralığında, lineer bir akım-voltaj ilişkisine sahiptirler. I nın V ye göre çizi1en eğrisinin doğrusal bölgedeki eğimi, R için bir değer verir. Omik olmayan maddeler doğrusal olmayan bir akım-vo1taj ilişkisine sahiptir. Çok kullanılan yarıiletken bir aygıt olan diodda, I nin V ye göre eğrisi (karakteristiği) doğrusal değildir (Şek.2.5). Bu aygıt etkin direnci (I-V eğrisinin eğimiy1e ters orantılıdır), bir yöndeki akım(pozitif V) için küçük, ters yöndeki akım (negatif V) için büyüktür. Aslında, transistör gibi en modern elektronik aygıtlar, lineer olmayan akım-voltaj ilişki1erine sahiptirler. Bunlarda Ohm kanunu geçer1i olmaz.












(a)**&nb sp;**&nb sp;**&nb sp;(b)
Şekil 2.5(a) Omik bir malzeme için akım voltaj eğrisi. Eğri, lineer (doğrusal) dir ve eğim, iletkenin direncini verir. (b) Yarı iletken bir diyot için, doğrusal olmayan akım-voltaj eğrisi. Bu aygıt ohm kanununa uymaz.
OHM YASASININ İŞLEMEDİĞİ YERLER

Şimdi Ohm yasasının nasıl işlemez hale geleceğini göreceğiz. E elektrik alanı öyle yoğun olsun ki iyon çarpışmalar arasında ortalama ısıl hızı ile ölçülebilecek bir hız artışı kazansın. Bu hal çarpışmalar arasındaki ortalama süreleri etkileyecektir. Bu zamanlar artık sabit değil, E' ye bağlıdır. Bu demektir ki, ***61536;t de E ile değişirse E alan yoğunluğunu iki katına çıkarmak J akım yoğunluğunu iki katına çıkarmaz. Bunun tipik bir halde nerede kendini göstereceğini görelim. Taslamımız zayıf iyonlaşmış bir gaza benzemektedir. Normal yoğunlukta bir gaz içindeki bir iyonun, ortalama özgür yolu 10-6 cm basamağındadır. Gelişigüzel devinimin ortalama devinsel enerjisi, k gazların kinetik kuramında ortaya çıkan Boltzmann sabiti olduğuna göre, kT büyüklüğündedir. Öyleyse hız ölçümümüz şöyle deyimlenebilir: İyonun çarpışmalar arasında alan yüzünden kazandığı devimsel enerji kT ile ölçüşebilecek değeri bulursa başımız dertte demektir. Bu iki enerjiyi yaklaşık olarak eşitlersek,
eE 10-6cm ***61627; kT (2.11)
buluruz. Sayıları yerlerine koyarak E ***61627; 80 statvolt/cm yani 24 kilovolt/cm gibi laboratuvarlarda kolayca elde edilebilecek ılımlı bir alan yuğunluğu çıkar. Kuşkusuz bu sınır doğrudan özgür yola bağlıdır. Alçak basınlardaki iyonlaşmış gazlarda özgür yol çok uzun olduğundan Ohm yasasından ayrılık zayıf alanlarda da kendini gösterebilir.
Çok yoğun elektrik alanları yüklü taneciklerin sayısının artması gibi daha sert değişimlere yol açabilir. Elektriksel ışık yayında olanlar bu cins bir delişimdir. Zaten gaz içinde var olan yüklü tanecikler alandan o kadar enerji alırlar ki, öteki atomlara çarpmaları, yeni iyonlanmalara yol açacak kadar yoğun olur, bu da yüklü yeni. tanelerin, doğması demektir. Böyle gelişen çığ halindeki iyonlanma Ohm yasasının yıkılmasıdır!
Ohm yasasının değilse bile geliştirdiğimiz kuramın yakılabileceği başka bir bölgeyi önceden kestirebiliriz. E elektrik alanının çok. kısa bir zaman için uygulandığını düşünelim. Bu süre ***61556; kritik zamanı ile ölçüşebilecek kadar ya da ondan daha kısa ise kurgumuzu yeniden gözden geçirmek gerekir. Daha açık söylersek, periyodu çarpışmalar arasındaki zamana bakınca kısa olan bir dalgalı elektrik alanı kullanalım. O zaman yüklü tanelerin tepkisi, geniş ölçüde, özgür cisimler olarak sahip oldukları eylemsizlikleri ile belli olacaktır. Bu halde incelediğiniz problem veya gelecekte rastlayacağınız problemler ne olursa olsun, ana çizgilerini verdiğimiz kuram artık uygun düşmeyecektir. Bununla birlikte örnek olarak aldığımız gaz içinde çarpışmalar arasındaki ortalama zaman, artı iyonlar için (10-6cm/molekül hızı) yakınlarında yani10-10 s basamağında, elektronlar için ise, daha da kısa olacaktır. Böylece sabit alan için geliştirilmiş ise de, kuramımız birçok dizge için çok hızla değişen alanlar halinde de işleyebilir.
İki yarı iletken maddenin eklem yeri veya, bir yarı iletkenle bir metal arasındakieklem yeri Ohm yasasından epey uzak durur ve bu bölgeler diyod lambalar gibi tek yönlüdür. Çizgisel olmayan düzenekler uygulamada olduğu kadar elektronikte de onlarsız yapamayacağımızdizgelerd ir. Her şey Ohm yasasına uymaya başlasaydı elektronik teknoloji silinir giderdi.

METALLERİN ELEKTRİKSEL İLETKENLİĞİ
Metaller bildiğimiz en iyi iletkenlerdir. Anlattığımız elektriksel iletkenlik kuramı 19. yüzyılın sonlarında Drude ve başkalarınca metallerin iletkenliğini açıklamak için geliştirilmiştir. Lorentz kuramın ayrıntılarını geniş ölçüde işlemiş ve bazı verimli sonuçlara varmıştır. Metallerin yüksek iletkenlik göstermesinin, özgür elektronlardan ileri geldiğinde hiç kuşku yoktur; özgür elektron deyimi ile hiç bir atoma bağlı olmayan ve metalin kristal örgüsü içinde özgürce devinebilen elektronları anlıyoruz. Buna inanmak için, akım geçiren bir metal devresinde kimyaca saptanabilen herhangi bir madde taşınması olmadığınıanımsayalım. Metal elementler kimyası ve atom yapısı üzerine ilk kuantum kuramı, metallerin bir veya iki dış elektronlarını kolayca koyuverdiklerini ortaya koyar. Atomlar ayrı halde, ise bu elektronlar onlara bağlı kalırlar, ama bir kristal içinde böyle birçok atom bir yere geldiği zaman elektronlar özgürleşirler. O zaman örgünün kendisi düzgün katı (rijid) bir düzende bağlı artı iyonlardan oluşur. "İletim elektronları" bu iyon örgüsü içinde devinirler. Her metal atomu başına bir tek elektron özgürleşse bile, ortaya çıkan yüklü tanecik yoğunluğu, başka yollarla iyonlar oluşturduğu zaman elde edilen yoğunluktan çok daha büyüktür. Örneğin sodyum metalinin cm3 'ünde bulunan atom sayısı 2,5x1022dir.
Daha önce gördüğümüz gibi, yüklü taneciklerin devingenliği uygulanan elektrik alanından yönelmiş momentum alabilmesi için geçen ***61556; süresi ile belirlenir. Olayın içeriği ne olursa olsun bu doğrudur. Sodyumdaki yüklü taneciklerin sayısının atom başına 1 olduğu ve bunların me kütleli elektronlardan oluştuğu düşünülürse, ***61556;'yu hesaplayabilmek için yalnız denelolarak ölçülen iletkenliğe gereksinmemiz vardır. Sodyumun oda sıcaklığındaki öz iletkenliği durgun yük birimler cinsinden 1,9x1017esb/s-cm-statvolt'dur. Denk. 17'de artı yüklü taneleri bir yana bırakarak,

***61555;me*&n bsp;(1.9x1017)x(9x10-28)
***61556;= ***61630;***61630;***61630; =***61630;***61630;***61630;***61630;***61630;& #61630;***61630;= 630;***61630;*&nbsp ;(2.12 )
N e2**&nbs p;(2.5x1022)x(23x10-20)

bulunur. Bir elektronun, bir kristalin içinde önemli bir sapmaya uğramaksızın şaşılacak kadar bir süre boyunca devindiği anlaşılıyor. Bir elektronun gazların kinetik kuramına göre oda sıcaklığındaki ısıl hızı 107 cm/s yakınlarında olmalıdır, öyle ise, bir elektron bu 3x10-14 s'de 30 angström kadar, yani örgü aralığının 10 katı kadar yol alır.
İyon örgüsü, elektronlar için niye banca saydam dır? unutmayalım ki iyonlar kristal içinde birbirlerine değecek kadar sıkışıktırlar. Üstelik örgü içindeki yol boyunca gerilim değişmeleri oda sıcaklığındaki,elektronun uçuşu sırasında,onu yoldan alıkoyan çarpışmalar değilse nedir? Bu gibi çok önemli sorular elektronun dalgalı yapısı ortaya çıkıncaya dek gerçek şekilde yanıtlandırılmamıştır. Gerçekten elektronların bir metal içimdeki davranışı, kuantum mekaniği öncesi fiziğini inatçı bir takım çelişmelerle karşı karşıya bırakmıştır. Bu sorulara daha sonra, kuantum fiziğinde bilgi edindikten sonra yeniden döneceğiz. Şimdiki işimiz bakımından bütün yapabileceğimiz, bir çok fizikçi kuşağının yapmak zorunda kaldığı gibi, metallerin bu ilginç elektrik iletkenliğini olduğu gibi onaylamaktır.
Ama yine de kurduğumuz elektrik iletkenliği düzeninin bazı temel parçalarını elde tutabiliriz. İletim akımı elektronlarla taşınır; bu yüklü, taneciklerin gelişigüzel ve çok hızlı ısıl devinimlerine eklenen yavaş ve sürekli bir sürüklenme devinimidir. Elektronların iletken örgüsü tarafından saçılması ve dağıtılması, sürüklenme hızının alanla oranlı olmasını ve dolayısı ile, akımın Ohm yasasına uymasını sağlayan düzenektir.
Metallerin çoğunda Ohm yasası, bir metalin uzun zaman dayanamayacağı kadar yegin akım yoğunlukları için bile, çok büyük sağlıkla doğrudur. Bir kuramsal öngörüye göre, 109 amp/cm2 'lik bir akım , yoğunluğu için yasadan ayrılma yüzde bir kadar olabilir. Bu akım yoğunluğu bir çevrimde bulunan bir teldeki akım yoğunluklarının bir milyon katı tutarıdır.
Arı metallerin iletkenliği sıcaklık alçaldıkça büyür. Bunun yukarki kuram ile açıklanması biraz güçtür. Üstelik aşırı iletkenlik dediğimiz şaşırtıcı olayı, metal iletkenliğinin bütün görünüşlerini anlayabilmek için ortaya atılan "bilardo bilyası" taslamına dayanarak açıklamaya çalışmak güçtür. Çoğu metaller aşağı sıcaklıklarda öylesine iyi iletmeğe başlarlar ki bunu ancak sonsuz iletkenlik sözü ile anlatabiliriz.(Bu kabul bile onların akıl almaz elektriksel davranışını tam olarak anlatamaz.)

ELEKTRİKSEL İLETKENLİK İÇİN BİR MODEL
Bu kesimde, metallerde elektriksel iletkenliğin kla*** bir modelini tanımlıyoruz. Bu model bizi Ohm kanununa götürür ve özdirencin, metaldeki elektronların hareketleriyle ilişkili olabileceğini gösterir.
Bir iletkenin, serbest elektronlar (bazen iletkenlik elektronları da denir) ihtiva eden atomların düzgün sıralanmasıyla oluştuğunu düşünelim. Bu elektronlar iletken boyunca serbestçe hareket ederler ve sayıları, yaklaşık olarak atomların sayısına eşittir. Serbest elektronlar, elektrik alanı yokken iletken içinde 106 m/s büyüklüğünde ortalama hızlarla rastgele yönlerde hareket ederler. (Bu hızlar sadece kuantum mekaniksel yollardan, doğru-dürüst hesaplanabilir.) Bu durum, bir kaba kapatılmış gaz moleküllerinin hareketine benzemektedir. Esasen, bazı bilim adamları metaldeki iletkenlik elektronlarına elektron gazı demektedirler. Bu iletkenlik elektronları tümüyle "serbest" değildir; çünkü bunlar, bir iletkenin içine kapatılmışlar ve sıralı atomlarla ardışık çarpışmalar yaparlar. Bu çarpışmalar normal sıcaklıktaki metalin özdirencinde en baskın işleyim (mekanizma)dır. Elektriksel alan yokken, serbest elektronların ortalama hızı sıfır olduğundan, iletkende akım olamayacağına dikkat edilmelidir. Yani, ortalama olarak bir yönde ne kadar elektron hareket ediyorsa, aksi yönde de o kadar elektron hareket eder ve böylece net bir yük akışı olmaz.







(a)**&nb sp;**&nb sp; (b)
Şekil 2.6 (a) Elektriksel alan yokken, bir iletkendeki yük taşıyıcının rastgele hareketlerinin şematik bir diyagramı. Sürüklenme hızının sıfır olduğuna dikkat ediniz. (b) Elektriksel alan varken, bir iletkendeki yük taşıyıcının hareketi. Rastgele hareketin, alan tarafından değiştirildiğine ve yük taşıyıcının bir sürüklenme hızına sahip olduğuna dikkat ediniz.
Metale bir elektrik alan uygulandığında durum değişmektedir. Serbest elektronlar, burada anlatılan rastgele termal harekete ilaveten, elektrik alanın zıt yönünde ortalama bir sürüklenme hızıyla (vd) yavaşça sürüklenirler. Bu sürüklenme hızı (tipik olarak 10-4 m/s), çarpışmalar arasındaki ortalama hızdan (tipik olarak 106 m/s), çok küçüktür. Şekil 2.6, bir iletkendeki serbest elektronların hareketinin kaba bir tanımını vermektedir. Elektrik alanı yokken, bir çok çarpışma sonucunda net bir yerdeğiştirme olmaz (şekil 2.6a). E elektrik alanı bu rastgele hareketi değiştirir ve elektronların, E ye zıt yönde sürüklenmelerine sebep olur (Şekil 2.6b). Şekil 2.6b de görülen yollardaki hafif kavis, uygulanan elektrik alanın çarpışmalar arasında elektrona kazandırdığı ivmeden kaynaklanmaktadır. Bu duruma kısmen benzeyen mekanik bir sistem, üzerinde yakın aralıklarla sıralı olarak çakılmış çiviler bulunan, hafif eğik bir düzlemde aşağı doğru yuvarlanan bir toptur (Şekil 2.7). Top, bir iletkenlik elektronunu temsil eder; çiviler, kristal örgüsündeki kusurları temsil etmekte; yerçekimi kuvvetinin eğim boyunca bileşeni ise eE elektrik kuvvetini temsil etmektedir.








Şekil 2.7 Elektrik alanı varken yük taşıyıcılarının hareketine benzeyen mekanik bir sistem. Topun çivilerle çarpışmaları eğik düzlemden aşağı doğru topun hareketine karşı direnci temsil etmektedir.

Modelimizde, elektrik alandaki elektronlar tarafından kazanılan fazla enerjinin çarpışmalarla iletkene verildiğini kabul edeceğiz. Çarpışmalarla atomlara verilen enerji, atomların titreşim enerjilerini artırır. Böylece iletkenin ısınmasına sebep olur. Bu model, ayrıca, elektronun çarpışmadan sonraki hareketinin çarpışmadan önceki hareketinden bağımsız olduğunu da kabul eder.
Şimdi sürüklenme hızı için bir ifade elde edebilecek durumundayız. Yükü q, kütlesi m olan hareketli bir parçacık, E elektrik alanında bulunduğunda bir qE kuvvetine maruz kalır. F = ma olduğundan parçacığın ivmesi


qE
a = ***61630;***61630;***61630; **2.13
m
ile verilir. Bu ivme sadece çarpışmalar arasındaki çok kısa zaman için söz konusu olup, elektrona küçük bir sürüklenme hızı kazandırabilir. Şayet t, son çarpışmadan itibaren geçen zaman, vo ilk hızı ise, t zaman sonunda elektronun hızı
v = vo+at = vo+(qE/m)t*&n bsp;(2.14)
ile verilir. Şimdi, bütün mümkün zamanlar (t) ve bütün mümkün vo değerleri üzerinden v nin ortalama değerini alalım. Şayet ilk hızları uzayda rastgele olarak dağıldıklarını farz edersek, vo ın ortalama değerinin sıfır olacağını görürüz. (qE/m)t terimi, atomlar arasındaki hareket sonunda alan tarafından kazandırılan ilave hızdır. Şayet elektron sıfır hızıyla başlarsa, 2.14 eşitliğinin ikinci teriminin ortalama değeri (qE/m)***61556; olur; burada ***61556; çarpışmalar arasındaki ortalama zamandır. vo nin ortalaması sürüklenme hızına eşit olduğundan
vd =(qE/m)***61556;&nb sp;**&nb sp;**&nb sp;**(2.15)
elde ederiz. Bu sonucu 2.6 eşitliğinde kullanarak, akım yoğunluğunun büyüklüğünün
J=mq vd = (nq2E/m)***61556;&n bsp;**&n bsp;**&n bsp;**(2.16)
ile verilebileceğini buluruz. Bu ifadeyi J = ***61555;E ile verilen Ohm kanunu ile kıyaslarsak, iletkenlik ve özdirenç için aşağıdaki bağıntıları elde ederiz:

nq2 ***61556;
***61555; = ***61630;***61630;***61630; ** (2.17)
m*** ;
1*** ;**m
P= ***61630;***61630; = ***61630;***61630;&n bsp;**&n bsp;**(2.18)
***61555;nq2***61556;
Çarpışmalar arasındaki ortalama zaman, çarpışmalar arası I ortalama mesafesi ve termal sürate (***61536;v)
** ** *l
***61556; = ***61630;*&nbs p;**&nbs p;**&nbs p;*(2.19)
**v
ifadesi ile bağlıdır.
Bu kla*** modele göre, iletkenlik ve özdirenç,elektrik alanına bağlı değildir. Bu özellik, Ohm kanununa uyan bir iletkenin ayırdedildiği özelliğidir. Bu model gösteriyor ki, iletkenlik yük taşıyıcılarının yoğunluğunun, yük, kütle ve çarpışmalar arasındaki ortalama zamanın bilinmesiyle hesaplanabilir.
İletkenliğin bu kla*** modeli Ohm kanunu ile uyuşmasına rağmen, bazı önemli olayları açıklamakta yeterli değildir. Örneğin, ideal gaz modeli kullanılarak ***61536;v için yapılan kla*** hesaplamalar, doğru değerlerden 10 kere kadar daha düşük sonuçlar vermektedir. Ayrıca, 2.18 ve 2.19 eşitliklerine göre, özdirencin sıcaklıkla değişiminin ***61536;v nin ki gibi olacağı öngörülmüştür (ideal gaz modeline göre bu da ***8730;T ile orantılıdır). Bu ise saf metaller için, özdirencin sıcaklığa bağımlılığının lineer oluşu ile uyuşmamaktadır (Şekil 2.5). Bu gözlemler sadece kuantum mekanik model kullanılarak hesaba katılabilir. Bu modeli özetle anlatacağız.
Kuantum mekaniğine göre, elektronlar dalga benzeri özelliklere sahiptirler. Şayet, atomların sırası düzgün aralıklı (yani, periyodik) ise, elektronların dalga benzeri karakteri onların iletken boyunca serbestçe hareket etmelerini ve bir atomla çarpışmasının söz konusu olmamasını mümkün kılar. İdealleştirilmiş bir iletkende çarpışma olmayacak, ortalama serbest yol sonsuz olacak ve direnç de sıfır olacaktır. Elektron dalgalan sadece atomik dizilişlerin düzensiz (periyodik değil) olması halinde yapısal kusurlar ve safsızlıkların varlığı sonucu saçılırlar. Düşük sıcaklıklarda, metallerin özdirencine elektronla safsızlıklar arasındaki çarpışmaların sebep olduğu saçılmaların katkısı baskın olur. Yüksek sıcaklıklardaki özdirence, termal uyarma sonucu sürekli yer değiştiren iletken atomları ile elektronlar arasındaki çarpışmaların sebep olduğu saçılmaların katkısı baskın olur. Atomların termal hareketleri (durgun olan atomik sıralamalara kıyasla) yapının düzensiz olmasına yol açar ve bunun sonucu olarak da elektronun ortalama serbest yolu kısalır.

METALLERIN SERBEST-ELEKTRON TEORİSİ

Bu kesimde, metallerin serbest-elektron teorisini tartışacağız. Bu modelde, metaldeki değerlik elektronları her bir atoma sıkı, şekilde bağlı değil, aksine metalin içinde serbestçe hareket ettiği düşünülür.
Mikroskopik özellikleri makroskopik özelliklere bağlamak için, parçacıklar topluluğuna istatistik fizik uygulanabilir. Elektronlar için kuantum istatistiği kullanılmalıdır ve sistemin her bir durumunun yalnızca bir elektron tarafından doldurulma gereği vardır. Her durum (seviye) kuantum sayılarının bir takımı ile belirlenir. Fermiyon olarak adlandırılan, buçuklu spinli bütün parçacıklar, Pauli dışarlama ilkesine uymak zorundadır. Fermiyon'a bir örnek elektrondur. Elektronun belirli bir E enerjili durumda bulunma olasılığı
1
f (E) = ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630;***61630;***61630;. (2.20)
e(E- EF)/kT +1
ile verilir, buradaki EF'ye Fermi enerjisi denir. f(E) fonksiyonuna Fermi-Dirac dağılım fonksiyonu denir. f(E) nin E ye göre T = 0 K deki grafiği Şekil 2.8a'daki gibidir. E&lt; EF için f = 1 ve E &gt; EF için f = 0 olduğuna dikkat edilmelidir. Yani, 0 K de enerjisi Fermi enerjisinin altında bulunan bütün durumlar dolu iken, Fermi enerjisinden daha büyük enerjili bütün durumlar boştur. T &gt; 0 olan sıcaklıklarda f(E) nin E ye karşı çizimi Şekil 2.8b'de gösterilmiştir. E = EF de f(E) fonksiyonu ½ değerine sahiptir. Sıcaklık ile Fermi-Dirac dağılım fonksiyonunun esas değişimleri, Fermi enerjisi civarındaki yüksek enerjilerde meydana gelir. Fermi enerjisinden daha büyük enerjili seviyelerin sadece küçük bir kesrinin dolu olduğuna dikkat edilmelidir. Dahası, Fermi enerjisinin altındaki seviyelerin küçük bir kesri boştur.









Şekil 2.8 Fermi***61485;Dirac dağılım fonksiyonlarının çizimleri (a) T=0 K de ve (b) T&gt;0 K de. Burada EF Fermi enerjisidir.
Bir parçacığın hareketi L uzunluklu tek-boyutlu kutuya sınırlanmış ise, izinli durumların, aşağıdaki eşitlikle verilen ke***li (Kuantumlu) enerji seviyelerine sahip olduğunu biliyoruz.
***295;2***61552;2
*E=***61630;&# 61630;***61630;n2 n=1,2,3,...
2mL
Bu izinli durumların dalga fonksiyonları, ***61561; = A sin (n***61552;xL) ile verilen duran dalgalardır ve bunlar x = 0 da ve x = L de ***61561; = 0 sınır şartlarını sağlarlar.
Şimdi, bir elektronun kenar uzunluğu L, hacmi L3 ve duvarları metal düzlemlerini temsil eden üç boyutlu kutu içinde hareket ettiğini düşünelim. Böyle bir parçacığın enerjisinin,
***295;2***61552;2
*E= ***61630;***61630;***61630;(nx2 +ny2 +nz2)**& nbsp;**& nbsp;(2.21)
2mL2

ile verildiği gösterilebilir . Burada nx, ny ve nz kuantum sayılarıdır. Yine enerji seviyeleri ke***lidir ve her bir seviye üç kuantum sayısının (her serbestlik derecesi için bir tane) bir takımı ve spin kuautum sayısı ms tarafından tanımlanır. Örneğin nx=ny=nz=1'e karşılık gelen taban durumu, 3h2***61552;2/2mL2'ye eşit enerjiye sahiptir, v.b. Bu modelde, sınırlarda ***61561;(x, y, z) = 0 olması gerekir. Bu zorunluluk, üç boyutta duran dalga çözümleri elde edilmesini sağlar.
Şayet, kuantum sayıları sürekli değişkenler gibi işleme sokulursa, enerjileri E ile E + dE aralığında olan birim hacim başına izinli durumların sayısı
g(E) dE= CE1/2 dE (2.22)
ile verilir. Burada
8***61654;2 ***61552;m3/2
C= ***61630;***61630; ***61630;***61630;***61630; **(2.23)
h3
dir. g(E) = CE1/2 fonksiyonuna durumlar yoğunluğu fonksiyonu denir.








Şekil 2.9 Bir metaldeki elektron dağılımının enerjiye karşı T=0 K de ve T= 300 K de çizimi. Fermi enerjisi 3 eV olarak alındı.

Termal dengede, E ve E + dE aralığında enerjiye sahip birim hacim başına elektronların sayısı ***61606;(E) g(E) dE çarpımına eşittir. Yani,

E1/2 dE
N(E)de= C ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630;&n bsp;**&n bsp;(2.24)
e(E-EF)/kT+1


kadardır. N(E) nin E ye göre grafıği Şekil2.9'daki gibidir. Eğer,n birim hacim başına elektronların toplam sayısı ise,
E1/2 dE
n= ***61683;***61605; N(E)dE=C***61683;***61605; ***61630;***61630;***61630;***61630;&nbs p;**&nbs p;(2.25)
*o***61685;&nb sp;**&nb sp;o***61685; e(E-EF)/kT+1

eşitliği yazılabilir. Bu eşitlik Fermi enerjisini hesaplamak için kullanılabilir. T= 0 K de Fermi dağılım fonksiyonu,E &lt; EF için ***61606;(E)=1 ve E &gt; EF için sıfırdır. Bundan dolayı, T= 0 K de 2.25 eşitliği
n=C ***61683;EF E1/2 dE=2/3 CEF3/2** **(2.26)
o***61685;
şekline gelir. 2.26 Eşitliği, 2.23 Eşitliğinde yerine koyulur ve EF çözülürse
h2
EF= ***61630;***61630;(3n/8***61552;)2/3&nb sp;**&nb sp;(2.27)
2m
bulunur. Bu sonuca göre, elektron konsantrasyonu artıkça, EF de tedrici olarak artmaktadır. Bu beklenen bir sonuçtur, çünkü elektronlar mevcut olan enerji seviyelerini, seviye başına iki elektron olmak üzere Pauli dışarlama ilkesine uyarak, Fermi enerji seviyesine kadar doldururlar.
½ mvF2= EF (2.28)
ve
EF
TF = ***61630;***61630;&n bsp;**&n bsp;(2.29)
k
Metaldeki bir iletim elektronunun 0 K'deki ortalama enerjisi
Eort= 3/5EF**& nbsp;**& nbsp;**( 2.30)
dir.
Özet olarak bir metal; değerlik elektronları çok büyük sayıda enerji seviyeleri olan bir sistem olarak düşünülebilir. Elektronlar bu seviyeleri E = 0 dan başlayıp EF 'de son buluncaya kadar, Pauli dışarlama ilkesine uyarak doldururlar. T = 0 K'de, Fermi enerjisinin altındaki bütün seviyeler dolu olduğu halde, Fermi enerjisinin üstündeki bütün seviyeler boştur. Seviyeler ke***li olmalarına rağmen, bunlar birbirine o kadar yakındır ki, elektronlar hemen hemen sürekli enerji dağılımına sahip olurlar. 300K de, değerlik elektronlarının çok küçük bir kesri Fermi enerjisinin üzerine uyarılır.
2.1.1. DRUDE MODELİ

Serbest elektron gazı modelinde metalin her atomunun, birbirleriyle etkileşmeyen elektronlardan meydana gelen ideal gaz teşkil etmeye bir veya daha fazla elektronla katkıda bulundukları kabul edilmektedir. Drude modelindeki özel itibarlar şu şekilde özetlenebilir:
(1)Metal iyonları örgü noktalarında yerleşmiş olan hareketsiz kütlelerdir;
(2)Serbest elektron gazı sabit bir potansiyel bölgesindedir;
(3)Her elektronun, sadece sıcaklığın fonksiyonu olan,bir vo hızı vardır;
(4)Elektronlar, bir elektrik alanı mevcut olmadığı zaman, sabit iyonlar tarafından izotropik ve esnek olarak saçıl maya uğratılırlar;
(5)Bir elektron termal eksitasyon veya dış elektrik alanından ilave bir luz bileşeni kazanırsa, bu hız artımını bir iyon tarafından bundan sonraki saçılmasında kaybeder. Son itibar biraz tartışmayı gerektirecek kadar önemlidir. Bir elektrona ***916;v hızı verilip hızının vo+ ***916;v olduğunu kabul edelim. Bir örgü noktasında bulunan iyonla bundan sonraki çarpışmasında ***916;v artımını kaybedip hızı tekrar vo olacaktır, O halde bu çarpışma elektrona çarpışmadan evvel kazandırılan termal veya esnek gradyanın etkisini ortadan kaldıracaktır. Çarpışmalar arasındaki ortalama zaman ***61556; ile gösterilirse, bir elektrik alanı elektrona ***61556; süresince ivme verir diyebiliriz. Buna göre bir elektronun çarpışma anındaki hızı olur.
&lt;v&gt; = vo + ***916;v (2.31)
Şimdi iki çarpışma arasında geçen ortalama zaman olan ***61556; yu daha kati tarif edelim. Bir elektronun dt zaman aralığındaki çarpışma probabilitesi dt/***61556; dur. Buna göre t anında hiç çarpışmamış elektronların sayısı n ise dt zaman aralığında çarpışacakların sayısı
dn = - (n/***61556;) dt
olur. Eksi işaret zaman ilerledikçe durmamış olan partikül sayısının azalacağını gösterir. Buradan

dn**&nbs p;dt
Mo***61606;M ***61630;***61630; = - o***61606;***61556; ***61630;***61630;
n*** ;***61556;
veya
n = noe-t/***61556;&nbs p;**&nbs p;**&nbs p;**(2.32)
elde edilir. Demek ki ***61556; zamanında elektronların, yaklaşık olarak %70i çarpışmaya uğrar. ***61556; nun ortalama çarpışma zamanı olduğu
o***61606;***61605; tndto***61606;***61605; te-t/***61556;
&lt;t&gt;= ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; = ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; = ***61556;2/***61556; = ***61556;(2.33)
o***61606;***61605; ndt**&nb sp;*o***61606;***61605; e-t/***61556;dt
şeklinde gösterilebilir.Ohm kanununu elde etmek için uygulanan bir elektrik alanının etkisini göz önüne alalım. ***61541; alanı etkisiyle her elektrona -e ***61541;/m ivmesi verilir ve bu ivme ortalama ***61556; zamanı kadar tesir eder. O halde
e***61556;
***61508;v= - ***61630;***61630;***61541;
m
ve (3-1) ifadesinden
e***61556;
&lt;v&gt; = vo - ***61630;***61630; ***61541;*&nbs p;**&nbs p;*(2.34)
m
elde edilir. O halde birim hacimdeki n elektrondan gelen ortalama akım yoğunluğu

**n* ;*** ;*n*&nbs p;**ne2& #61556;
&lt;j&gt;= - ***61523; &lt;v&gt;= - e ***61523; vo + ***61630;***61630;***61630; ***61541;*&nbs p;**i=1& nbsp;**& nbsp;i=1&nbs p;**&nbs p;*m
olur. Elektronların ilk vo hızlarının dağılımı izotropik olduğundan vo ın bütün elektronlar üzerindeki toplamı sıfır olur ve
ne2***61556;
&lt;j&gt;= ***61630;***61630;***61630; ***61541; = ***61555; ***61541; (2.35)
*m
elde edilir. Bu da Ohm kanunu ifadesidir. Burada
***61555;= n c2 ***61556;/m (2.36)
dir.
Basit bir model olan Drude modelinin önemli denel gerçekler olan Ohm kanunu ve Wiedermann-Franz oranını başarı ile açıkladığı görülmektedir. Diğer taraftan her elektronun ısı kapasitesinin 3/2 k olması itibari, bir metalin molar ısı kapasitesinin yüksek sıcaklıklarda Cv = 3R+ 3/2R = 9/2R gerektirir. Bu ise denel olarak gözlenen bir netice değildir. Aslında yüksek sıcaklıklarda metallerle yalıtkanların ısı kapasiteleri arasında fark gözlenmemektedir. Bu olayı açıklamaması kla*** model için önemli bir başarısızlıktır.
Kla*** teorinin, açıklanmaları kuantum mekanik modelinin incelenmesinden sonra yapılacak olan, diğer iki başarısızlığını da kısaca belirtelim. Bunlardan biri metallerdeki iletkenlik elektronlarında ileri gelen ufak magnetik geçirgenliğin sebebini açıklayamamasıdır. Diğeri ise saf metallerin, ortalama serbest yolun uzun olması gereken, çok alçak sıcaklıklardaki özdirençlerinin çok ufak olmasını açıklayamamasıdır.

BOLTZMANN DENKLEMİ
Faz uzayında (r,P) noktası civarındaki bölgede her kuantum halinde bulunan partiküllerin sayısını veren dağılım fonksiyonu f (x,y,z,Px,Py,Pz) olsun. Buna göre dt zamanında (r,P) bögesine giren partiküllerin sayısı, alınan zamandan dt kadar önce (r-vdt, P-Fdt) bölgesinde bulunan partiküllerin sayısına eşit yani
df=f(x-vxdt, y-vydt, z-vzdt, Px-Fxdt, Py-Fydt, Pz-Fzdt) ***61485; f(x,y,z,Px,Py,Pz)& nbsp;**(2.37)
dir. (2.37) eşitliği Taylor serisine açılırsa
** ***61622;f ***61622;f ** ***61622;f ** ***61622;f ***61622;f ***61622;f&nb sp;
df=( x-vxdt) ***61630; + (y-vydt) ***61630; + (z-vzdt) ***61630; + (Px-Fxdt) ***61630; + (Py-Fydt) ***61630; + (Pz-Fzdt) ***61630;
***61622;x***61622;y ***61622;z ** ***61622;Px ****61622;Py ***61622;Pz

***61622;f ***61622;f ***61622;f*&n bsp;***61622;f*&nbs p;***61622;f* ***61622;f
- x ***61630; -y ***61630;- z ***61630; -Px ***61630;- Py ***61630; -Pz ***61630;
***61622;x*&nb sp; ***61622;y&nb sp;***61622;z *&nb sp;****61622;Px* ; ***61622;Py ***61622;Pz

***61622;f&nb sp;&nb sp;****61622;f***61622;f&nb sp;***61622;f ***61622;f*&nb sp;***61622;f
df=-(vx***61630; + vy ***61630; + vz ***61630; + Fx***61630; + Fy ***61630; + Fz ***61630;)dt = - (v***61649;f + F***61649;vf)dt
***61622;x&nb sp;&nb sp;****61622;y&nbsp ;***61622;z&n bsp; ***61622;Px***61622; Py ***61622;Pz

olacağından buradan

df
** ***61630; = - v. ***61649;.f - F. ***61649;vf (2.38)
dt
elde edilir. (2.38) bağıntısı dağılım fonksiyonunun, (a) partiküllerin koordinat uzayındaki hareketlerinden ve (b) partiküllere tesir eden kuvvet alanından ileri gelen momentum değişiminin sebep olduğu, değişim hızını verir. (2.38) bağıntısında da bir ek***lik bulunduğu açıkça görülmektedir. Zira bu şekliyle, sağ tarafta ki iki terimin de sıfır olacağı anlamsız hal haricinde, dengenin sağlanmasına imkan yoktur. Ek*** olan çarpan dış kuvvetler ve konsantrasyon gradyanları mevcut olduğu zaman dahi dengenin sağlanması için gerekli olan, çarpışma terimidir. Çarpışma teriminin kati şekli bilinmediğinden bunun yerine (***61622;f/***61622;t) yazabiliriz. (2.38) bağıntısına çarpışma terimi eklenirse Boltzmann transport denklemi denilen
df ** ** ***61622;f
***61630;***61630; = - v ***61649;f -F***61649;vf +(***61630;***61630;) (2.39)
dt ** ***61622;tçarp.
elde edilir.
RÖLAKSASYON ZAMANI YAKLAŞIMI

Çarpışma terimi olmasaydı kararlı hale erişmeye ve Ohm kanunu gibi olayların mevcut olmasına imkân olmazdı. Ancak (2.39) denkleminin çözülebilmesi için çarpışma terimi için bir şekil kabul etmek gerekir. Bu denklem genellikle denge dağılım fonksiyonunun bilindiği ve sistemin bir d***61556;/dx termal gradyanı veya bir elektrik alanından ileri gelen ufak bir etkiye maruz kaldığı hallere uygulanır. Sistemin etki kalkıktan sonra ***61556; zamanında denge haline eriştiği kabul edilir. Rolaksasyon zamanı yaklaşımında çarpışma terimin

***61622;f ** f - fo (***61630;***61630;)= - ***61630;***61630;***61630; (2.40)
***61622;t&nb sp;çar p.***61556;
şeklinde olduğu kabul edilir ve dengeye, üstel olarak, ***61556; zaman sabitiyle erişilir.

2.1.2 LORENTZ MODELİNE GÖRE ELEKTRİK İLETKENLİĞİ

x doğrultusundaki bir elektrik alanı etkisinde bulunan bir çubuk düşünelim. Çubuğun termal dengede olduğu kabul edilirse ***61649;f = 0 olur, yani dağılım fonksiyonunun gradyanı olmaz. B halde Boltzmann denklemi, rolaksasyon zamanı yaklaşımı da kullanılarak,
df e ***61541;* ***61622;f&nb sp;**f -f
***61630;***61630;= ***61485; ( ***61485; ***61630;***61630;) ***61630;***61630; ***61485; ***61630;***61630; (2.41)
dt m***61622;x *****61556;
şeklini alır. Dengede (2.41) bağıntısı sıfır olur ve
e***61541; ***61622;f&nb sp;f ***61485; fo
***61630;***61630;***61630;***61630; = ***61630;***61630;
m***61622;vx**& nbsp;*****61556;
ve buradan
e***61541;***61556; *****61622;f
f = fo + ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; (2.42)
m*** ;***61622;vx
elde edilir. Buradaki fo Maxwell hız dağılımındaki denge değeri olan

m
fo = ( ***61630;***61630; )3/2 e ***61485; mvo/2kT
2***61552;kT
dir. Ayrıca
***61622;fmvx ** m*** ;***61485;mvo2/2kT mvx
***61630;***61630; =***61630;***61630;(&#6163 0;***61630;***61630;) 3/2e&n bsp;= ***61485; ***61630;***61630; fo
***61622;vx*&n bsp; kT2***61552;kT ** kT
olduğundan bu değer 2.42 de yerine konursa
*e ***61541; ***61556;
f = fo ( 1***61485; ***61630;***61630;***61630; vx) ** ** (2.43)
**kT
elde edilir.
Elektrik akım yoğunluğu
** ** e***61541;***61556;
Jx= ***61485; en***61606; vx f d***61556; = ***61485; en o***61606;***61605;o***61606;***61552;o***61606;2***61552; fo (1 ***61485; ***61630;***61630; vx) vx v2d***61542; sin***61553; d***61553; dv
** ** **kT olarak tarif edilir. x ekseni polar eksen olarak alınırsa vx = v cos***61553; olacağından ** e***61541;***61556;
Jx= ***61485; 2***61552; en o***61606;***61605;o***61606;***61552; fo (v cos***61553; ***61630;***61630;***61630; v2 cos2***61553;)v2 sin***61553; d***61553; dv
** kT olur Entegrali alınacak olan birinci ifade tek fonksiyon olduğundan, entegral sıfır olur. İkinci e entegral sıfır olur. İkinci entegral hesaplanırsa
2***61552;e2***61541;***61556; nm ***61485;mv2/2kT
Jx= ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; (***61630;***61630; )3/2 o***61606;***61605; v4 e dv o***61606;***61552; cos2***61553; sin***61553; d***61553;
kT *2***61552;kT

2***61552;ne2***61541;&#61 556;&n bsp;m& nbsp; 3 2kT
Jx= ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; (***61630;***61630; )3/2 (***61630;***61630; ***61654;***61552;) ( ***61630;***61630;)5/2
kT *2***61552;kT8 **m

ne2***61541;***61556;
Jx= ***61630;***61630;***61630;
m

elde edilir. Buradan da ***61556;= Jx /***61541; =ne2 ***61556; /m bulunur. Bu netice (2.36) bağıntısı ile belirli olan Drude neticesinin aynıdır.
İncelenen modelde eklenen bütün karışık terimlere rağmen yine zayıf bir model olan Drude modelinin verdiği neticelerin aynen elde edilmesi hayal kırıklığı yaratabilir. Metallere ait kla*** modelde yapılacak diğer bir değişiklik Maxwell-Boltzmann fonksiyonu yerine Fermi-Dirac dağılım fonksiyonunun kullanılmasıdır. Burada, teferrüata girmeden, aynı işlemler uygulanarak Lorenz sayısının
***61552;2k
L= ***61630;***61630; ( ***61630;***61630;) 2
3e
olacağını belirtelim. Bu netice Drude değerinden pek az farklıdır. Bu da metallerin incelenmesinde yeni bir yol tutulması gerektiğini göstermektedir.

2.3 KRONİG-PENNEY MODELİ

Gerçek atomik potansiyelin şekli kati olarak bilinmediğinden, hesaplara uygun olarak bir model potansiyel kabul etmek gerekmektedir. Kullanılan en basit model Kronig ve Penney tarafından teklif edilen ve Şekil. 2.10 da görülen modeldir. Bu model fizik. bakımından gerçeğe uymamakta ise de elemanter kuantum mekaniğinde belirtilen yasak ve müsaade edilen enerji bandlarını analitik olarak göstermektedir.






Şekil 2.10 Lineer pozitif iyonlar dizisinin bir elektrona etkisinin kare potansiyel çukurları ile gösterilmesi.

Bir elektronun dalga fonksiyonun Bloch fonksiyonu olduğu kabul edilirse,u( x+ d) = u(x) olduğundan,
***61561;(x) = eikx u(x) ve ***61561; (x + d) = eik(x+d) u(x+d) =eikd ***61561;(x)

yazılır. Bu dalga fonksiyonu Schrödinger denkleminde yerine konursa
***295;2 **d2
( ***61485; ***61630;***61630;***61630;***61630; + V ) ***61561;(x) = E***61561;(x)
2m&nbs p;&nbs p;dx2
veya

d2 ***61561;(x)*& nbsp;*2m
***61630;***61630;***61630;***61630; ***61485; ***61630;***61630; (V ***61485; E) ***61561;(x) = 0 ** (2.44)
dx2**&nb sp;***295;2
elde edilir. Dalga fonksiyonundan, üsler x'e göre türevi göstermek üzere,
d2 ***61561;(x)*& nbsp;*d
***61630;***61630;***61630;***61630; = ***61630;***61630;[ eikx (u***900;+ iku)]= eikx(u***900;***900;+2iku***900; ***61485; k2u)
dx2**&nb sp;dx

elde edilir. Bu değer (2.44) denkleminde yerine konursa eikx çarpanları birbirini götürür ve
2m
u***900;***900; + 2iku***900; ***61485; [***61630;***61630; (V***61485;E) + k2] u = 0 ** (2.45)
***295;2
elde edilir. Burada bölgelerin ayrı ayrı göz önüne alınmaları gereklidir. Genişlikleri a olan çukurlar içindeki çözümü u1 ile, genişlikleri b olan dar engellerle bunların üzerlerindeki bölgeyi içine alan kısımlardaki çözümü u2 ile gösterelim. Elektronun u1çözümüne ait momentumu, E elektronun toplam enerjisini göstermek üzere
P1= ***295;k1 = (2mE)1/2 ** *(2.46)
Dir. Benzer şekilde, elektronun u2 çözümüne ait momentumu
P2 = ***295; k2 = [2m(Vo ***61485; E)]1/2 ** (2.47)
dir. Bu bölgede E&lt;Vo iken, yani engel içinde, P2 momentumu imajiner olur. Bu halde P2 nin
P2= ***295;k2 = i ***295; K2 = [ 2m(Vo ***61485; E)]1/2 (2.48)
şeklinde alınması uygun olmaktadır. Burada K2=ik2 dir.
Şimdi şekilde görülen E&lt;Vo hali için çözümleri bulalım. (2.45) denkleminden

0&lt;x&lt;a& nbsp;i çinu1***900;***900; + 2iku1***900; ***61485; (k2 ***61485; k12) u1 = 0
** ** ** **(2.49)
a&lt;x&lt;d& nbsp;i çinu2***900;***900; + 2iku2***900; ***61485; (k2 ***61485; K2 2) u1 = 0

yazılır. Bu denklemin çözümleri
0&lt;x&lt;a& nbsp;için&nb sp;u1 = ( A eik1x + B e -ik1x ) e -ikx
** ** ** **(2.50)
a&lt;x&lt;d& nbsp;için&nb sp;u2 = ( C e-K2x + D e -iK2x ) e -ikx
olur. Bu çözümlerdeki katsayıları tayin etmek için sınır şartlarını uygulanması gerekir. İlk şart olan
[u1]x=0= [u2]x=0
dan
A + B = C + D ** ** (2.51)
elde edilir. İkinci şart olan
[ u1***900;]x=0 = [ u2]x=0
dan
(k1***61485;k)A ***61485;(k1+ k)B=(iK2 ***61485;k)C ***61485;(iK2 +k)D ** *(2.52)
elde edilir. Periyodiklikten yararlanarak üçüncü sınır şartı olarak yazılabilen
[u1]x=a = [u2]x=***61485;b
den
A ei(k1***61485; k)a + B e -i(k1+k)a = C e -i(iK2 ***61485; k)b + D ei(iK2+k)b (2.53)
elde edilir. Son sınır şartı olan
[u1***900;]x=a = [u2***900;]x=***61485;b
den
(k1***61485; k)Aei(k1 ***61485; k)a ***61485; (k1 + k)Be***61485;i(k1+ k)a = (iK2 ***61485; k)Ce***61485;i(iK2 ***61485; k)b ***61485; (iK2 + k)Dei(iK2 + k)b (2.54)
elde edilir.
Sınır şartlarından elde edilen ve A,B,C,D nin homojen fonksiyonları olan bu dört fonksiyonun anlamlı çözümleri olabilmesi için katsayılar determinantı sıfır olmalıdır. Bu ifade edilirse
11&nbs p;11&n bsp;
(k1 ***61485; k)***61485;(k1+ k)(iK2 ***61485; k)(iK2 + k)
ei(k1 ***61485; k)ae***61485;i(k1+ k)ae***61485;i(iK2 ***61485; k)bei(iK2 + k)b=0
(k1 ***61485; k) ei(k1 ***61485; k)a***61485;(k1+k)e***61485;i(k1 + k)a(iK2***61485;k)e***61485;i(iK 2***61485;k)b(iK2+k)ei(iK2+k)b& nbsp;

olduğundan çözüm
(k12***61485; K22)
cosk1 a.cos(iK2b) ***61485; ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; sink1 a.sin(iK2b)=cosk(a+b)&nb sp;(2.55)
2ik1K2
olur. sin (iK2b) = i sinhK2b, cos(iK2b)=coshK2b ve a + b= d olduğundan (2.55) bağıntısı E&lt;Vo için
(k12***61485; K22)
cosk1 a. coshK2b ***61485; ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; sink1 a. sinhK2b =coskd (2.56)
2k1K2
E&gt;Vo için
(k12+ K22)
cosk1 a. cosK2b ***61485; ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; sink1 a. sinK2b =coskd (2.57)
2k1K2
şekillerini alır.
(2.56) ve (2.57) denklemlerini özellikleri daha açık görülecek şekilde yazmak mümkündür. Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak
E&lt;Vo
(k12 + K22)2
[ 1 + ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; sinh2K2b]1/2 cos(k1a- ***61540;)=coskd (2.58)
4k12 K22
yazılabilir. Burada
k12 + K22
tg***61540;= ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; tghK2b
2k1K2
alınmıştır. Benzer şekilde
E&gt;Vo için
(k12 ***61485; k22)2
[ 1 + ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; sinh2k2b]1/2 cos(k1a- ***61540;)=coskd (2.59)
4k12 K22
yazılabilir. Buradan
*(k12 + K22)
tg***61540;= ***61485; ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; tghk2b
2k1K2
alınmıştır.
(2.46), (2.47) ve(2.48) bağıntılarından
2mVo
k12 + K22 =k12 ***61485; k22 = ***61630;***61630;***61630;
*h2
olacağından (2-58) ve (2-56) bağıntıları
Vo2
E&lt;Vo[ 1 + ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; sinh2K2b]1/2 cos(k1a- ***61540;)=coskd
4E(E ***61485; Vo)
(2.60)
Vo2
E&gt;Vo[ 1 + ***61630;***61630;***61630;***61630;***61630; sinh2k2b]1/2 cos(k1a- ***61540;)=coskd
4E(E ***61485; Vo)
şekillerinin alırlar. k nın hakiki değerleri için bu eşitliklerin sağ tarafı sadece +1 ile ***61485;1 arasında olabileceğinden, (2.60) denkleminin çözümleri sadece enerjinin denklemlerin sol taraflarını birden büyük yapmayacak değerleri için mevcut olabilir. Parantez içindeki amplitüd birden büyük olduğundan sol taraftaki cos fonksiyonunun argümanının değerleri daha sınırlı olur. Bu durum, 2.60 denkleminin sol tarafının (k1a) ile değişimini şematik olarak gösteren Şekil 2.11 de görülmektedir. Fizik bakımından kabul edilen çözümler fonksiyonun değerinin ***61485;1 ile +1 arasında olduğu çözümlerdir.












Şekil 2.11 (2.60) denkleminin sol tarafının enerji ile değişimi. Taranmış bölgeler, k nın değerinin kompleks olduğu, yasak enerjilere tekabül etmektedir.

Bu limitler dışında k kompleks ve elektronun momentumu imajiner olacağından uygun dalga fonksiyonları elde edilemez. Bu şekilde, ardışık olarak, müsaade edilen ve yasak enerji bandları meydana gelmektedir. Müsaade edilen enerji bandlarının E büyüdükçe genişledikleri görülmektedir. Ayrıca, verilen bir enerji için yasak bandların genişlikleri (2.60) denkleminin sol tarafı büyüdükçe, artar. Vob büyüklüğü engelin genişliği ile derinliği çarpımı olduğundan buna bazen engelin gücü de denir. Engelin b genişliği sonsuz olarak artarsa veya derinliği Vo ***61614; ***61605; olursa bandlar daralır ve müsaade edilen enerjiler bir kutu içindeki partikülün kesintili seviyelerine indirgenir. Bu hale sıkı***61485;bağ yaklaşımı denir, çünkü bu halde her elektron, hareketinde bağımsız bir partikül gibi davranmayıp, pozitif bir iyona bağlanmış olur. Diğer limit hal olan çok zayıf engel halinde (2.60) denkleminin sol tarafı bire yaklaşır ve k1a nın bütün değerleri için müsaade edilen enerji değerleri elde edilir. Bu halde yasak bandlar kaybolur. Ve evvelce incelenmiş olan, serbest elektron yaklaşımına dönülmüş olur.
Genellikle Vo ve b nin belirli değerleri için eğer E&lt;&lt;Vo(b/d) ise sıkı bağ yaklaşımı , E&gt;&gt;Vo(b/d9 ise serbest elektron yaklaşımı uygulanır.
(2.60) denkleminden yararlanarak E nin k ile değişimi çizilebilir. Bu değişim Şekil 2.12 de görülmektedir. Aynı şekilde üzerinde, mukayese için, serbest elektrona ait E-k eğrisi de çizilmiştir. Her bandın merkezi yakınında E-k eğrisi serbest elektron eğrisine benzemektedir. Budan dolayı k değerleri bir bandın merkezine rastlayan elektronlar, serbest elektrona çok benzeyen davranışlarda bulunurlar. K değerleri band uçlarına rastlayan elektronlar ise farklı davranırlar. Müsaade edilen enerji bandları arasındaki yasak bölgeler Brillouin bölgesi sınırlarında meydana gelirler. Bu sınırlarda E-k eğrilerinin eğimleri sıfırdır. Bu değer (2.60) denkleminden türev alarak sağlanabilir. Bir Brillouin bölgesi sınırında nihayetlenen bir dalga vektörü Bragg yansımasına uğrar. Buna dayanarak, elektronların bölge sınırlarında Bragg yansımasına uğramaları yasak enerji bölgelerinin mevcudiyetini açıklayan diğer bir yol olarak kullanılabiliriz. Bragg yansımasına uğrayan elektronların grup hızları sıfır olduğundan ilerleyen dalga yerine karalı dalgalarla gösterilebilirler. Bu da lineer tek atomlu zincirde fononlar için bulunan durumun tamamen aynıdır.















Şekil 2.12 (2.60) denklemine göre enerjinin dalga vektörü ile değişimi. Noktalı eğri serbest elektronlara aittir. Taranan bölgeler, peryodik potansiyelin sebep olduğu, müsaade enerji bandlardır.


Şekil 2.12 deki çizimle müsaade edilen k değerleri her mertebeden Brillouin bölgesinde gösterildiklerinden buna yayılmış bölge şekli denir. Genellikle indirgenmiş bölge şeklini kullanmak, yani müsaade edilen bütün değerleri birinci Brillouin bölgesinde göstermek daha uygundur. Bu çözüm Şekil 2.13 de görülmektedir.













Şekil 2.13 Şekil 2.12 deki E***61485;K eğrisinin indirgenmiş bölge şeklinde gösterilmesi.

2.4 METAL, YALITKAN VE YARI***61485;İLETKENLERDE İLETİM

İyi iletkenlerin yüksek yük taşıyıcı yoğunluğuna sahip olduğu, yalıtkanlarda ise yük taşıyıcı yoğunluğunun hemen hemen sıfır olduğunu biliyoruz. Yarı-iletkenler teknolojik malzemelerin önemli bir grubunu oluştururlar ve yük taşıyıcı yoğunlukları, yalıtkanlar ile iletkenler arasındadır. Bu kesimde, maddelerin bu üç sınıfı için iletiminin işleyimine ait nitel (kalitatif) bir tartışma vereceğiz. Bu maddelerdeki elektriksel
iletimin aşırı derecede değişimi, enerji bandları yardımı ile açıklanabilir.

Metaller





Şekil 2.14 Sodyumun 3s bandı gibi, bir iletkenin yarı***61485;dolu bandı. T=0 K de Fermi enerjisi bandın ortasına düşer.
Sodyumun 3s bandı gibi, yarı-dolu bir band göz önüne alarak, metallerin özelliklerini daha iyi anlayabiliriz. Şekil 2.14, T=0 K de bir metalin yarı-dolu bandını gösteriyor. Burada mavi bölge elektronlarla dolu seviyeleri göstermektedir. Elektronlar Fermi***61485;Dirac istatistiğine uyduğundan, EF Fermi enerjisinin altındaki bütün seviyeler dolu, EF nin üstündeki bütün seviyeler boştur . Sodyumda Fermi enerjisi bandın ortasına düşer. 0 K 'den daha büyük sıcaklıklarda çok az sayıda elektron EF 'nin üzerindeki seviyeler ısısal olarak uyarılır, fakat tümüyle 0 K durumundan çok küçük bir değişiklik olur. Bununla beraber, metale elektrik alan uygulandığında, Fermi enerjisi civarında enerjiye sahip elektronlar, yakın boş enerji durumlarına ulaşabilmek için elektrik alandan sadece çok az. Bir ilave enerji alma gereği duyarlar. Böylece elektron uygulanan sadece küçük bir alan yardımıyla metal içinde serbestçe hareket edebilirler, çünkü dolu enerji seviyelerinin bitiminde çok sayıda doldurulmamış seviyeler vardır.

Metaller ve Yalıtkanlar

Valans elektronları bir veya daha çok bandı tamamen dolduruyor ve diğerlerini boş bırakıyorsa, kristal bir yalıtkan olur. Bir dış elektrik alan bu yalıtkanda elektrik akımına yol açmaz. (Elektrik alan şiddetinin elektron yapısını bozacak kadar büyük olmadığı varsayılır. Dolu bir bant bir sonraki boş banttan yeterli bir enerji aralığı ile ayrılmışsa, elektronların toplam momentumunu sürekli bir şekilde değiştirme olanağı yoktur ve elektrik alan uygulandığında hiçbir değişiklik olmaz. Bu durum, elektrik alanda k nın düzgün olarak artabildiği serbest elektron durumundan çok farklıdır.










Şekil 2.15: Dolu yörüngeler ve bant yapısına göre (a) yalıtkan oluşumu, (b) bant örtüşmesi nedeniyle metal veya yarımetal oluşumu. (c) elektron yoğunluğu nedeniyle metal oluşması (b) deki örtüşmenin Brillouin bölgesinde aynı doğrultuda olması gerekmez. Örtüşen durumların sayısı az ise yarımetal oluşur.
Bir kristaldeki ilkel hücrede valans elektronları sayısı çift tamsayı ise, bu kristal yalıtkan olur. (Ancak, iç yörüngelerde sıkı bağlı olan ve bant. teorisiyle açıklanamayan elektronları ayrı tutmak gerekir). Kristalde ilkel hücre başına iki valans elektronu olduğu durumda. bantların birbirini örtüp örtmediğine bakmak gerekir. Bant enerjileri birbirini örtüyorsa tamamen dolu bir bant ve dolayısıyla yalıtkan oluşumu yerine, kısmen dolu iki bant ve dolayısıyla metal yapı elde edilir (Şek. 2.15).
Alkali metaller ve soylu metaller ilkel hücre başına bir valans elektronu içerirler ve dolayısıyla metal olurlar. Toprak alkali metallerinde ilkel hücre başına iki valans elektronu bulunur; ancak, bant enerjileri birbirini örttüğü için metal, ama iyi olmayan metal olurlar. Elmas silisyum ve germanyumun dört valanslı iki elektronu, yani ilkel hücre başına sekiz valans elektronu bulunur. Ayrıca, bantlar birbirini örtmediği için, mutlak sıfırda bu kristaller yalıtkan olurlar.



Yarıiletkenler

Enerji aralığı 1 eV mertebesinde olan maddelere yarıiletkenler denir. Tablo 43.5 birkaç örnek maddenin enerji aralığını gösteriyor T = 0 K de bütün elektronlar değerlik bandındadır ve iletim bandında hiç bir elektron yoktur. Bunun için yarıiletkenler, düşük sıcaklıklarda zayıf iletkendirler. Bununla beraber, normal sıcaklıklarda durum tamamen farklıdır. Yarıiletkenlerin band yapısı Şekil 2.16'daki diyagramla gösterilebilir. Yarıiletkenlerde EF Fermi seviyesi, enerji aralığının hemen hemen ortasında bulunması ve EF'nin küçük olması nedeniyle, önemli sayıda elektron ısısal olarak değerlik bandından iletim bandına uyarılır. İletim bandında birbirine yakın çok sayıda boş seviye olduğundan uygulanan küçük bir potansiyel, elektronların enerjilerini kolayca iletim bandına çıkarabilir ve orta büyüklükte bir akım meydana gelir. Yüksek sıcaklıklarda, dar aralıktan ısısal uyarmalar daha yüksek olasılıklı olduğundan, yarı-iletkenlerin iletkenliği, sıcaklığa sıkıca bağlıdır ve sıcaklık ile hızlı bir şekilde artar. Bu durum, metalin iletkenliği ile keskin bir zıtlık gösterir. Çünkü iletkenlik, sıcaklıkla yavaş bir şekilde azalır.





Tablo 2.1 Bazı yarıiletkenlerin enerji aralığı değerleri.







Şekil 2.16 Normal sıcaklıklarda(T=300 K) bir yarıiletkenin band yapısı.
Yarıiletkenlerde negatif ve pozitif yük taşıyıcıların her ikisinin de varlığını belirtmek önemlidir. Bir elektron değerlik bandında iletkenlik bandına geçtiğinde, arkasında kristal boşluğu veya deşik (hole) olarak adlandırılan dolmamış değerlik (valans) bandı bırakır. Bu deşik (elektronu ek*** olan yer) pozitif bir yük (+e) olarak görülür. Bir değerlik elektronu, arkasında elektron boşluğu (deşik) bırakarak, yakınındaki boşluğu doldurmak üzere hareket etmesi halinde, deşik (hol) bir yük taşıyıcı gibi davranır. Böylece deşik madde içinden hâreket eder. Yalnız bir element ya da bileşik içeren saf bir kristalde eşit sayıda iletim elektronu ve deşik vardır. Yüklerin bu tür bileşimlerine elektron-deşik çiftleri denir. Bu tip elektron-deşik çiftleri bulunduran saf yarıiletkene saf(özden) yarıiletken denir(bak. Şekil 2.17). Elektrik alanı uygulandığında deşikler alan yönünde, iletim elektronları alana zıt yönde hareket ederler.








Şekil 2.17 Bir saf yarıiletken. Elektrik alanı şekilde görüldüğü gibi sağa sola doğru uygulandığında, elektronlar sola doğru, deşikler sağa doru hareket eder.

Katkılı Yarıiletkenler
Yarıiletkenlere safsızlıklar katılırsa bant yapıları ve dirençleri değişir. Safsızlıkları katma işlemine aşılama denir. Aşılama işlemi malzeme yapımında ve farklı iletkenlik bölgelerine sahip yarıiletkenleri imal etmede önemlidir. Örneğin, arsenik gibi beş değerlik elektronuna sahip bir atom bir yarıiletkene ilave edildiğinde, dört değerlik elektronu kovalent bağa katılır ve bir elektron boşta kalır (Şekil 2.18). Bu fazla elektron hemen hemen serbesttir ve iletkenlik bandının hemen altında, enerji aralığında bulunan bir bandda enerji seviyesine sahiptir(2.18b). Böylece beş değerlik elektronu olan atom, yapıya bir elektron verir. Buna verici (donör) atom denir. Verici seviyeleri ile iletkenlik bandı arasındaki enerji aralığı çok küçüktür (tipik değer, yaklaşık 0,05 eV'dur.) Bundan ötürü ki küçük bir ısıl enerji, bu düzeydeki bir elektronu iletkenlik bandına geçiriverir. (Oda sıcaklığında bir elektronun ortalama ısısal enerjisinin kT ***61627;026 eV civarında olduğunu hatırlayın). Verici atomlarla katkılandırılan yarıiletkenlere n-tipi yarıiletkenler denir. Çünkü bu yarıiletkenlerde yük taşıyıcıların çoğu, negatif yüklü elektronlardır.









Şekil 2.18 (a)( Verici atomu (kırmızı nokta) içeren bir yarıiletkenin iki boyutlu temsili (b) Yarıiletkeninin enerji band diyagramı. Burada verici seviyeleri, yasak enerji aralığının içinde kalır ve iletim bandının tabanın hemen altında bulunur.









Şekil 2.19 (a) Bir alıcı nokta (kırmızı nokta) içeren bir yarıiletkenin iki boyutlu gösterimi. (b) Bir yarıiletkenin enerji band diyagramı. Burada alıcı seviyeleri, yasak enerji aralığının içinde kalır ve değerlik bandının tepesinin hemen üstünde bulunur.
Yarıiletken, indiyum ve alüminyum gibi üç valans elektronuna sahip atomlarla aşılanırsa üç elektronu komşu atomlarla kovalent bağ oluşturur. Dördüncü bağda ise elektron noksanı yada deşik kalır (Şek. 2.19a). Bu tür safsızlıkların enerji düzeyleri, Şekil 2.19b'de gösterildiği gibi değerlik bandının az yukarısında ve enerji aralığı içinde yer alır. Oda sıcaklığında, bu safsızlık düzeylerini dolduracak kadar ısıl enerjiye sahip elektronlar, değerlik bandında bir deşik (hole) bırakarak ayrılırlar. Üç değerlikli atom, gerçekte valans bandından bir elektron aldığından, böyle safsızlıklara alıcı denir. Üç değerlikli safsızlıklar (alıcı) ile aşılanan bir yarıiletken p-tipi yarıiletken olarak bilinir. Çünkü bu tip yarıiletkenlerde yük taşıyıcıları pozitif yüklü deşiklerdir. İletkenlik. alıcı ya da verici safsızlıklarından biri ile baskın kılınırsa, bu maddeye dıştan (extrincis) yarıiletken denir n-veya p tipi yarıiletkenlerin katkılama yoğunlukları tipik olarak 1013-1019 cm3 arasındadır.
























3. BÖLÜM: SÜPERİLETKENLİK

Temel bilimle olan ilgisi ve pek çok teknik uygulamaya sahip olması bakımından aşırıiletkenlik (süperiletkenlik, üstüniletkenlik) olayı her zaman çok heyecan verici bir konu olmuştur. Kısa bir süre önce, bazı metal oksitlerde yüksek-sıcaklık aşırıiletkenliğin keşfi, bilim ve iş çevrelerinide büyük bir heyecan doğmasına neden olmuştur. Bu buluş, pek çok bilim adamı tarafından transistörün keşfi kadar önemli sayılmış ve övgü ile karşılanmıştır. Bu yüzden fen ve mühendislik öğrencilerinin, aşırıiletkenlerin elektromanyetik özelliklerini anlaması ve bunların uygulamaları hakkında bilgi sahibi olması çok önemlidir.
Aşırıiletkenler pek çok olağandışı elektromanyetik özelliklere sahiptir ve uygulamaların çoğu bu tür özelliklerden yararlanır. Mesela, yeterince düşük sıcaklıkta tutulan aşırıiletken bir halkada oluşturulan elektrik akımı, kayda değer bir azalma göstermeden geçmeye devam eder. Aşırıiletken halka, doğru akıma karşı bir direnç ortaya koymaz, dolayısıyla bir ısınma ve kayıp söz konusu olmaz. Sıfır dirence sahip olma özelliklerine ek olarak, bazı aşırıiletkenler, uygulanan manyetik alanı da dışarlarlar. Dolayısıyla bu tür aşırıiletken içindeki bütün noktalarda magnetik alan sıfır olmaktadır. İleride görüleceği gibi, kla*** fizik aşırıiletkenlerin davranışlarını ve özelliklerini açıklayamamaktadır. Aslında aşırıiletkenlik hali, elektronların özel bir kuantum yoğunlaşması olarak bilinmektedir. Bu kuvantumsal davranış, aşırıiletken bir halkanın oluşturduğu manyetik akının kuvantumlanmasının gözlenmesi ile kanıtlanmıştır.
Bu bölümde ilk olarak aşırıiletkenliğin 1911 yılında keşfinden başlayarak, kısa bir zaman önce gerçekleştirilen yüksek-sıcaklık aşırıiletkenlerin keşfine kadar uzanan kısa bir tarihçesini vereceğiz. Daha sonra, aşırıiletkenlerin elektromanyetik özelliklerinin açıklanmasında kullanılan düşünceleri sıralamaya çalışacağız. Mümkün olduğunca bu özelliklerin açıklanması basit fiziksel tartışmalara dayandırılacaktı. Aşırıiletkenlik teorilerinin ayrıntıları bu tezin seviyesinin üzerindedir ve kapsam dışında tutulmuştur. Burada yalnızca bu teorilerin anahatları gözden geçirilecektir.



KISA BİR TARİHÇE

Düşük sıcaklık fiziğinin tarihi, 1908 yılında Hollandalı fizikçi Heike Kamerlingh Onnes'in kaynama sıcaklığı 4,2 K olan helyumu sıvılaştırması ile başlamıştır. Üç yıl sonra 1911 de, Onnes ve yardımcılarından birisi metallerin düşük sıcaklık dirençlerini incelerken aşırıiletkenlik olayını keşfettiler. İlk olarak platini incelediler. Platinin 0 K e uzatılan (ekstrapole edilen) özdirencinin numunenin saflığına bağlı olduğunu buldular. Daha sonra, damıtma suyu ile elde edilen çok saf sıvıyı incelemeye karar verdiler. Ancak onlârı bir sürpriz bekliyordu. Hg nın direncinin, 4,15 K de çok keskin bir şekilde düşerek, ölçülemeyecek kadar küçük değerlere ulaştığını gördüler. Onnes bu yeni olayı, kusursuz iletken anlamında aşırıiletken olarak adlandırmıştır. Hg ve Pt için deneysel sonuçlar Şekil 3.1 de görünmektedir. T sıfıra giderken, sonlu bir dirence sahip olan Pt, aşırıiletkenlik göstermemektedir. Helyumu sıvılaştırması ve maddelerin düşük sıcaklık özellikleri üzerine yaptığı çalışmalar Onnes'e "1913 Nobel Fizik Ödülünü" kazandırmıştır.










Şekil 3.1 Direncin düşük sıcaklık değimi (a) Civa (Onnes tarafından yayınlanan orijinal sonuç) (b) Platin. Direnç, civa için Tc kritik sıcaklığı üzerinde normal bir metal gibi davranmakta, daha sonra Tc =4,17 K nin altında aniden sıfıra düşmektedir. Bunun aksine platinin direnci, çok düşük sıcaklıklarda bie Rc gibi sonlu bir değere düşmektedir.

Günümüzde, bîr aşırıitetkenin özdirencinin gerçekten sıfır olduğu bilinmektedir. Onnes'in keşfini izleyen yıllarda, pek çok metalin Tc Kritik sıcaklığı olarak adlandırılan bir sıcaklığın altında sıfır dirence sahip oldukları bulunmuştur.
Aşırıiletkenlerin manyetik özelliklerinin anlaşılması, elektriksel özelliklerinin anlaşılması kadar güç ve ilgi çekicidir. W Hans Meissner ve Robert Ochsenfold 1933 yılında aşırıiletkenlerin manyetik özelliklerini incelediler ve manyetik alanda soğutulan bir aşırıiletkenin, kritik sıcaklık altına inildiğinde, manyetik akıyı dışarıladığını buldurur. Ayrıca bu malzemelerin, kritik Bc(T) manyetik alanlarından daha büyük mânyetik alanlarda aşırıileikenlik özelliklerini kaybettikleri bulunmuştur. Aşırıiletkenlikle ilgili sezgiye dayanan (phenomenolegical) bir teori, Frity ve Heine London tarafından 1935 ylında geliştirilmiştir. Ancak aşırıiletkenliğin asıl doğası ve kökeni; John Bordeen, leon N. Cooper ve J. Robert Schrieffer tarafından ilk defa 1957 de açıklanmıştır. BCS teorisi olarak bilinen bu teorinin ana teması, iki elektron arasında "Cooper Çiftleri" olarak bilinen bağlı bir halin oluşmasıdır. Brian D. Josephson 1962 yılında, 2 mm kalınlığında yalıtkan bir engel ile ayrılmış iki aşırıiletken arasında bu elektron çiftleri tarafından taşınan tünelleme akımının oluşacağını öngörmüştür. Josephson'un öngörüsü kısa bir süre sonra ispatlanmıştır. Bugün pek çok cihazın fiziksel olarak anlaşılması Josephon olayına dayanmaktadır. 1986 nın başlarında, J. Georg Bednorz ve Karl Alex Müller; lantanyum, baryum ve bakırın bir oksidinde 30 K nın üzerinde aşırıiletkeniliğin varlığını haber verdiler. O zamana kadar T için bilinen en yüksek değer 23 K idi ve bu değer niobyum ve germanyumun bir, bileşiğine aitti. Bu bakımdan bu buluş konuyu ileri götüren çok büyük, bir gelişmedir. "Yüksek-sıcaklık Aşırıiletkenliği" olarak bilinen bir dönemin başlamasına neden olan bu çarpıcı keşif, gerek bilim çevrelerinin, gerekse iş dünyasının dünya çapında ilgisini çekmiştir. Araştırmacılar geçenlerde daha karmaşık oksitler için 125 K gibi yüksek sıcaklıklara erişen kritik sıcaklıkların haberini verdiler. Ancak bu malzemelerdeki aşırıiletkenlikten sorumlu mekânizmalar halâ anlaşılabilmiş değildir.
Yüksek-sıcaklık aşırıiletkenlerin keşfine kadar, aşırıiletken malzemelerinin kullanılması pahalı bir malzeme olan sıvı helyumu ya da çok patlaycı sıvı hidrojen banyosunu gerektiriyordu. Tc si 77 Kdan büyük olan aşırıiletkenler ise, tabiatta çok bulunan ve oldukça ucuz olan sıvı azota ihtiyaç göstermektedir. Bir gün Tc leri oda sıcaklığının üzerinde olan aşırıiletkenler bulunacak olursa, insanlığın bunlara dayandırdığı teknoloji de hızlı bir biçimde değişecektir.

I. TİP SÜPERİLETKENLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ

Kritik Sıcaklık ve Kritik Manyetik alan

Aşırıiletkenliğin 1911 deki keşfinden sonra, pek çok metalin direncinin, her metale özgü kritik bir Tc sıcaklığının altında, sıfıra gittiği gözlenmiştir. Çok iyi iletken olan bakır, gümüş ve altın aşırıiletkenlik göstermezler.
Bir B manyetik alanında bulunan aşırıiletkenin Tc kritik sıcaklığı manyetik alan arttıkça azalmaktadır. Bu durum bazı I. tip aşırıiletken için. Şekil 3.2 de görülmektedir. Manyetik alan kritik bir Bc değerini aştığında, aşırıiletkenlik ortadan kalkar ve söz konusu madde sanki direnci olan normal bir iletken gibi davranır. Kritik manyetik alanın sıcaklıkla yaklaşık olarak
Bc(T) = Bc(0)[l- ( T/Tc)2] ** ** (3.1)
şeklinde değiştiği bulunmuştur.










Şekil 3.2 Birkaç I. Tip aşırıiletken için Bc(T) nin sıcaklıkla olan değişimi. Bir metal, kritik eğrinin altındaki alan ve sıcaklıklarda aşırıiletkendir. Bu eğrinin üzerinde normal metal olarak davranır.

Bu eşitlik ve Şekil 3.2 den görüleceği gibi, kritik alanın değeri T=0 K da maksimumdur. Bc(0) ın değerini bulmak için, Bc nin değeri, belli sıcaklıklarda bulunmakta ve elde edilen eğri 0 K e uzatılmaktadır(Ekstrapole edilmektedir). I. tip bir aşıirıiletkenden geçirilebilecek maksimum akım, kritik alanın değeri ile sınırlanmaktadır.
Bc(0), verilen bir malzemede aşırıiletkenliğin ortadan kaldırılması için gereken maksimum alandır. Uygulanan alan Bc(0)ı aşarsa, metal hiç bir sıcaklıkta aşırıiletken olamaz. I. tip aşırıiletkenler için kritik olan değerleri oldukça düşük olup, 0,2 T nın altındadır. Bu nedenle I. tip aşırıiletkenler yüksek manyetik alanlı mıknatıs yapımında kullanılamazlar. Bundan sonraki kesimde, II. Tip aşrıiletkenler olarak adlandırılan ve bu tür uygulamalar için çok uygun olan başka bir aşırıiletken sınıfını göreceğiz.

I. Tip Aşırıiletkenlerin Manyetik Özellikleri

Daha önce gördüğümüz gibi, bir aşırıiletken, sıfır d.c. (doğru akım) direncine sahip olma gibi önemli bir özelliğe sahiptir.
Şimdi de bunların bazı manyetik özelliklerini gözden geçireceğiz. Elektrik ve manyetizma kanunlarına dayanan basit tartışmalarla, aşırıiletkenin içindeki manyetik alanın zamanla değişmeyeceği gözlenebilir. Ohm kanununa göre, bir iletken içindeki elektrik alan, o iletkenin direnci ile orantılıdır. Dolayısı ile, bir aşırıiletken için R = 0 olduğundan, aşırıiletkenin içinde elektrik alan sıfır olmak zorundadır. Faraday'ın İndüksiyon Kanunu
d***61542;m
***61606;E.ds= ***61630;***61630;***61630; ** 3.2
dt
şeklinde yazılabilir. Yani, E nin kapalı bir ilmek (halka) boyunca çizgi integrali, kapalı ilmek düzleminden geçen ***61542;m manyetik akısının zamana göre değişiminin eksi işaretlisine eşittir. Bir aşırıiletken içindeki her noktada E = 0 olduğundan, kapalı yol boyunca alınan integral yani d***61542;m/dt=0 olur. Bu da, aşırıiletken içindeki manyetik akının değişmeyeceğini ifade eder. Buradan B(=***61542;m/a) nin, aşırıiletken içinde sabit kalması gerektiği sonucuna varılır.
1933 den öncelerde; aşırıiletkenlik, mükemmel iletkenliğin bir görünümü olarak kabul ediliyordu. Mükemmel bir iletken manyetik alan uygulanmışken kritik sıcaklığının altına kadar soğutulursa, alan söndürüldükten sonra bile iletkenin içinde manyetik alan tuzaklanır. Mükemmel bir iletken için denge termodinamiği uygulanamaz. Çünkü, maddenin manyetik alandaki son hali, önce alan uygulanıp sonra soğutulduğuna mı, yoksa, kritik sıcaklığın altına kadar soğutulup daha sonra alan uygulandığına mı bağlıdır. Maddenin son hali bu işlemlerin yapılış sırasına bağlı olduğundan. alan Tc nin altına soğutulduktan sonra uygulanırsa, alanın aşırıiletkenden dışarılanması gerekir. Diğer taraftan önce alan uygulanıp, sonra Tcnin altına soğutulursa, alanın aşırıiletkenden dışarılanmaması gerekir.
1930 larda aşırıiletkenlerin manyetik özelliklerinin anlaşılması için yapılan deneyler farklı sonuçlar vermiştir. 1933 yılında Meissner ve Ochsenfeld; zayıf bir magnetik alanda soğuktan bir metal, aşırı iletken olduğunda, madde içinde her noktada B = 0 olacak şekilde alanın dışarılandığını keşfettiler. Böylece alan, ister madde kritik sıcaklığın altına soğutulmadan önce, ister soğutulduktan sonra uygulanmış olsun, aynı B = 0 durumuna erişildiği bulunmuş oldu. Bu etki, uzun silindir biçimindeki bir madde için Şekil 3.3 de gösterilmiştir. Sıcaklık Tc den büyük iken, alan Şekil 3.3a da görüldüğü gibi silindire nüfuz etmektedir. Bununla beraber, sıcaklık Tc nin altına düşürüldüğünde, alan çizgileri Şekil 3.3b deki gibi aşırıiletkenden uzaklaştırılmaktadır. Bu bakımdan I. tip aşırıiletken, p .= 0 a karşılık gelen mükemmel bir iletken olmanın ötesinde, aynı zamanda B = 0 olan mükemmel bir diyamanyetik maddedir. Manyetik alanın aşırıiletkenden dışarılanması olayı Meissner Olayı olarak bilinmektedir. I. tip bir aşırıiletken içinde E = 0 olması, bu maddenin direncinin sıfır olması kadar r temel bir olgudur. Uygulanan alan B &gt; Bc olacak şekilde artırılırsa, aşırıiletkenlik hali bozulur ve alan numuneye nüfuz eder.











Şekil 3.3 Bir manyetik alan içine konulan silindir şeklindeki I. Tip aşırıiletken (a) Tc nin üzerinde, numune normal halde olduğundan, alan çizgileri numuneye nüfuz etmektedir. (b) Silindir, T&lt;Tc olacak şekilde soğutularak aşırıiletken yapıldığında, akı, indüklenen yüzey akımları tarafından numunenin iç noktalarından uzaklaştırılır.
Hatırlanacağı gibi iyi bir iletken de, yüzey yükleri, iç noktalardaki statik elektrik alanı dışa atacak şekilde dağılırlar. Aslında, yüzey yüklerinin oluşturduğu elektrik alanları, iç noktalardaki dışardan uygulanan alana karşı koyarak onu yok eder. Benzer şekilde, bir aşırıiletkenin iç noktalarındaki manyetik alan da, yüzey akımlarının oluşması ile dışarlanır. Bu hususu göstermek için, manyetik alana paralel, silindir şeklinde I.tip bir aşırıiletken göz önüne alalım. Başlangıçta Şekil 3.3a da görüldüğü gibi T &gt; Tc olduğunu, yani alanın numuneye nüfuz ettiğini varsayalım. Sıcaklık düşürülerek T &lt; Tc olması sağlanacak olursa, manyetik alan aşırıiletkenin iç noktalarından atılır. Bu durumda aşırıiletkenin yüzeyinde akımlar indüklenir ve bu akımların oluşturduğu alan, iç noktalarda uygulanan alanı yokeder. Beklenildiği gibi dış alan kaldırıldığında yüzey akımları ortadan kaybolur.
Aşırıiletken halde ve kritik alandan küçük alanlarda, manyetik alan I. tipaşırıiletkene nüfuz edemez, fakat yüzey akımları. mevcut olur. Neticede I. tıp aşırıiletken mükemmel bir diyamagnet gibi davranır. Uygulanan alan kritik alanı aştığında, numune normal hale döner. Bu durumda alan tam olarak nüfuz eder, numunenin direnci sıfırdan farklı olur ve normal bir metal için beklenen değere erişir.

Nüfuz Derinliği
Görüldüğü üzere, I. tip aşırıiletkenlerde oluşan yüzey akımları, manyetik alanların maddenin iç noktalarından dışarılanması sonucunu doğurur. Gerçekte bu akımlar yalnızca numunenin yüzeyindeki çok ince tabakasında oluşmazlar. Tersine bu akımlar yüzeyden maddeye nüfuz ederek, sonlu kalınlıkta bir et tabakası üzerine dağılırlar. B alanı, derinliği yaklaşık 100 nm olan bu ince tabakalarda, derinlikle
B(x)=Boe***61485;x/***61548; ** *(3.3)
şeklinde değişir. Yani alan tam yüzeydeki Bo değerinden, sıfır değerine üstel olarak azalır. Burada dış alanın, numune yüzeyine paralel olduğu kabul edilmiştir ve x, numune yüzeyinden olan uzaklığı göstermektedir. Buradaki ***61548; ise nüfuz derinliğidir.

II. TİP SÜPERİLETKENLER
1950 lere kadar, II. tip süperiletkenler olarak bilinen başka bir grup maddenin varlığı tespit edilmişti. Bu maddeler, Şekil 3.4 de Bc1 ve Bc2 olarak gösterilen iki kritik alan tarafından belirlenmektedir. Uygulanan alan, Bcl alt kritik alanından küçükse, madde tam olarak aşırıiletkendir ve I. tip aşırıiletkenlerde olduğu gibi hiç bir akı maddeye nüfuz edemez. Uygulanan alan, Bc2 üst kritik alanı aştığında, akı numunenin tamamına nüfuz eder ve süperiletken hal ortadan kalkar. Fakat, Bc1 ile Bc2 arasındaki alanlar için malzeme "Girdaplı hal" (Vorteks hali) olarak bilinen karışık halde bulunur.












Şekil 3.4 II. Tip aşırıiletkenler için, kritik alanların sıcaklığın fonksiyonu olarak değişimi. Alt kritik alan olan Bc1 in altında numune, I. Tip süperiletken gibi davranır. Üst kritik alan Bc2 nin üzerinde, madde normal bir iletken gibi davranır. İki alan arasında, aşırıiletken karışık haldedir.
Girdaplı halde madde sıfır dirence sahip olabilir ve akı kısmen nüfuz edebilir. Uygulanan alan alt kritik alanı geçtiğinde, girdaplı bölgeler, Şekil 3.5 de görüldüğü gibi normal kısımlardan oluşan fitiller şeklinde olur. Uygulanan alanın şiddeti arttığında fitil sayıları artar ve alan üst kritik alana ulaştığında; numune normal hale geçer.










Şekil 3.5 Karışık haldeki II. tip aşırıiletkenin şematik çizimi.
Girdaplı hali, gözümüzde, silindirik normal bir metal çekirdekle sarılmış, aşırıakımların silindirik anaforu olarak adlandırabiliriz. Bu çekirdekler, akının II. tip aşırıiletkenlere nüfuz etmesini sağlarlar. Manyetik alan, girdap fitillerinin merkezinde maksimum olup, çekirdeğin dışına doğru, belirli bir nüfuz derinliği (***61548;) ile üstel olarak azalır. Her girdap için B nin "kaynağı" üstünakımlardır. II. tip süperiletkenlerde, normal ,metal çekirdeğinin yarıçapı, nüfuz derinliğinden daha küçüktür.
Şekil 3.6a, II. tip bir aşırıiletken için iç alanın uygulanan alanla nasıl değiştiğini; Şekil 3.6b ise buna karşı gelen mıknatıslanmanın uygulanan alanla nasıl değiştiğini göstermektedir. Burada da maddenin bulunduğu halin, uygulanan dış alanın şiddetine bağlılığı görülmektedir. Yani madde, B &lt; Bc1için akı dışarılayan süperiletken halde, Bc1&lt; B&lt; Bc2 için karşık halde ve B &gt; Bc2 için ise normal haldedir.










Şekil 3.6 II. Tip bir aşırıiletkenin manyetik davranışı. (a) Ic alanın uygulanan alanla değişimi. (b) mıknatıslanmanın uygulanan alanla değişimi.
II. tip aşırıiletkenler karışık halde iken, yeterince büyük bir akım, girdapların akıma dik olarak hareketine neden olabilir. Bu girdap hareketi, akımın zamanla değişimi anlamına gelir ve madde içinde direnç meydana getirir. Safsızlıklar ekleyerek, girdapları bir yere çivilemek (puining) ve hareketlerini engellemek; dolayısıyla karışık bir haldeki bir aşırıiletken için sıfır direnç oluşturmak mümkün olabilir. II. tip bir aşırıiletken için kritik akım şu şekilde elde edilebilir: Bu akımın değeri ile, girdapdaki akının çarpımı, girdapları bir yere çivileyen kuvveti yenecek bir Lorentz kuvveti vermelidir. Bu olgu kritik akımın değerini belirler.

SÜPERİLETKENLERİN DİĞER ÖZELLİKLERİ

Kalıcı (dc) Akımlar

Bir aşırıiletkenin dc direnci kritik sıcaklığın altında sıfırdır. Dolayısıyla bu maddelerde bir kere başlatılan akım, herhangi bir voltaj uygulanmasına gerek olmadan geçmeye devam edecektir. Bu, Qhm kanunu ve R = 0 olmasının bir sonucudur. Bazen aşırıakım olarak da adlandırılan bu kalıcı (sürekli) akımların, herhangi bir kayba uğramadan birkaç yıl sürdüğü gözlenmiştir. 1966 yılında Büyük Britanya'da S.S Collins tarafından yapılan bir deneyde, bir aşırıiletken halkadaki akım 2,5 yıl sürdürülebilmiştir. Bu akım, halkayı kritik sıcaklığın altında tutmak için gereken sıvı helyum temininin bir grev dolayısıyla gecikmesi sonucu durmuştur.

Bağdaşıklık (Koherens) Uzunluğu
Aşırıiletkenlikle ilgili önemli bir paremetre de koherens(bağdaşıklık) uzunluğu olarak bilinen ***61560; dır. Koherens uzunluğu, üzerinde aşırıiletkenliğin oluşturulabildiği veya yok edilebildiği en küçük boyut olarak üşünülebilir.
Koherens uzunluğu, nüfuz derinliğinden büyükse madde I. tip bir aşırıiletkendir. Diğer taraftan ***61548;/***61560; oranındaki bir artım, II. tip aşırıiletkenliği öne çıkarır. Ayrıntılı analizler, koherens uzunluğu ve nüfuz derinliğinin, normal bir metalin elektronlarının ortalama serbest yoluna bağlı olduğunu göstermiştir. Bir metaldeki ortalama serbest yol, metale safsızlıklar katılarak kısaltılabilir. Metale safsızlıklar eklendikçe, nüfuz etme derinliği artar, koherens uzunluğu azalır.

ÖZGÜL ISI

Süperiletkenlerin ısıl özellikleri geniş olarak araştırılmış ve aynı metalin normal haldeki özellikleri ile karşılaştırılmıştır. Çok önemli bir ölçüm, maddenin özgül(spesifik) ısısının ölçülmesidir. Normal bir metale az miktarda ısı enerjisi uygulandığında, bu enerjinin bir kısmı örgü titreşimlerinin uyarılmaları için, geri kalan kısmı da iletkenlik elektronlarının kinetik enerjilerinin artırılması için kullanılır. Elektronik özgül ısı C, elektronların soğurduğu enerjinin sıcaklık artımına oranı olarak tanımlanır. Şekil 3.7 I. tip bir aşırıiletken olan galyumun normal ve aşırıiletken halde iken, elektronik özgül ısısının sıcaklıkla nasıl değiştiğini göstermektedir. Maddenin kritik sıcaklık altındaki normal hal özgül ısısı, aşırıiletkenliği yok etmeye yetecek büyüklükte bir manyetik alan uygulayarak elde edilir. Daha sonra bu değer sıfır alandaki aşırıiletken halle karşılaştırılabilir. Normal haldeki bir metalin düşük sıcaklıklardaki C, özgül ısısı, sıcaklıkla AT + BT3 şeklinde değişir. Lineer terim elektronik uyarılmalardan, kübik terim ise örgü titreşimlerinden kaynaklanmaktadır. Maddenin aşırıiletken haldeki C elektronik özgül ısısı, kritik sıcaklığın altında büyük oranda değişime uğrar. Sıcaklık T &gt; Tc den başlayarak düşünüldüğünde, özgül ısı önce Tc de çok yüksek bir değere sıçrar ve daha sonra çok düşük sıcaklıklarda, normal haldeki değerinin çok altına düşer.











Şekil 3.7 Galyumunun aşırıiletken (alan uygulanmadan) ve normal halde iken (0.2T lik alanda) elektronik özgül ısının sıcaklıkla değişimi. Süperiletken halde Tc deki süreksizliğe ve düşük sıcaklıklarda 1/T ile üstel değişime dikkat ediniz.

</font></font></center>Edited by: TWebMaste®